prawdopodobieństwo, że parabola i prosta mają punkt wspólny

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 3 gru 2014, o 22:55

Cześć!

\(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ T}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym \(\displaystyle{ S}\) ma rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ (-2,4)}\), zaś \(\displaystyle{ T}\) ma rozklad dany następująco:

\(\displaystyle{ P(T=1)=\frac{1}{2} \\ P(T=2)=\frac{1}{3} \\ P(T=3)=\frac{1}{6}}\)

Obliczyć prawdopodobieństwo, że parabola \(\displaystyle{ y= (x-S)^2 -2}\) i prosta \(\displaystyle{ y= 2x-T^2}\) mają przynajmniej jeden punkt wspólny.

Proszę o pomoc.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 3 gru 2014, o 22:58

porównaj te funkcje i wtedy policz deltę nowo otrzymanej funkcji

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 3 gru 2014, o 23:03

miodzio1988, tak jak mówisz:

\(\displaystyle{ (x-S)^2-2=2x-T^2 \\ x^2-2Sx+S^2-2=2x-T^2 \\ x^2 - (2S+2)x + S^2+T^2-2=0 \\ \Delta = (2S+2)^2 - 4(S^2+T^2-2) \\ \Delta = 8S-4T^2+12}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 3 gru 2014, o 23:05

Sprawdz czy na pewno dobrze to policzyles.

No i teraz powinienes wiedziec co zrobic.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 3 gru 2014, o 23:07

miodzio1988, kilka błedów z pośpiechu, ale już poprawiłem. W takim razie teraz muszę obliczyć prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ 8S-4T^2+12<0}\) zgadza się ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 3 gru 2014, o 23:10

Mają przynajmniej jeden punkt wspolny...

Proszę Cię...

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 3 gru 2014, o 23:11

miodzio1988, no ale zdarzeniem przeciwnym jest to, że nie mają żadnego punktu wspólnego.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 3 gru 2014, o 23:18

Nie napisales, ze badasz zdarzenie przeciwne, luz,dzialaj zatem z tym

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 3 gru 2014, o 23:22

miodzio1988, dobra więc policzyłem tak:

\(\displaystyle{ 1- P \left( 8S-4T^2+12<0 \right) = \\ =1- \left( P \left( T=1 \wedge 8S+8<0 \right) + P \left( T=2 \wedge 8S-4<0 \right) + P \left( T=3 \wedge 8S-24<0 \right) \right) =1- \left( \frac{1}{2}P \left( S<-1 \right) + \frac{1}{3}P \left( S< \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{6}P \left( S<3 \right) \right)}\)

Teraz tylko dystrubuanty policzyć i chyba wszystko ok. Mam wątpliwości co do zapisu mojego. Czy mogę tak robić jak zrobiłem?

Spektralny · Post autor: **Spektralny** » 3 gru 2014, o 23:24

Musisz użyć tego, że \(\displaystyle{ T}\) i \(\displaystyle{ S}\) są niezależne, a więc gdzieś powinny były się pojawić iloczyny prawdopodobieństw.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 3 gru 2014, o 23:26

Spektralny, pojawiają się tam, gdzie pojawiły się ułamki: \(\displaystyle{ 1/2, 1/3, 1/6}\).

-- 3 gru 2014, o 23:35 --

Ostatecznie otrzymałem wynik \(\displaystyle{ \frac{23}{36}}\). miodzio1988, Spektralny bylibyście tak mili i sprawdzili, czy gdzieś się nie walnąłem?

\(\displaystyle{ 1- \left( \frac{1}{2}P \left( S<-1 \right) + \frac{1}{3}P \left( S< \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{6}P \left( S<3 \right) \right)= 1- \left( \frac{1}{2}F \left( -1 \right) + \frac{1}{3}F \left( \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{6}F \left( 3 \right) \right)=}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}F \left( -1 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{-1+2}{6}= \frac{3}{36} \\ \frac{1}{3}F \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{ \frac{1}{2}+2 }{6} = \frac{5}{36} \\ \frac{1}{6}F \left( 3 \right) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}= \frac{5}{36}}\)

Stąd

\(\displaystyle{ = 1- \frac{13}{36}= \frac{23}{36}}\)