Jeśli zmienne \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne o tym samym rozkładzie, to dla \(\displaystyle{ t>0}\) spełnione są nierówności:
a) \(\displaystyle{ P(|X-Y| \ge t) \le 2P(|X|> \frac{t}{2})}\)
b) jeśli \(\displaystyle{ a \ge 0}\) jest takie, że \(\displaystyle{ P(X \le a) \ge p}\) oraz \(\displaystyle{ P(X \ge -a) \ge p}\) to \(\displaystyle{ P(|X-Y| \ge t) \ge pP(|X|>t-a)}\)
rozw:
a) \(\displaystyle{ P(|X-Y| \ge t) \le P(|X+Y| \ge t)=P(|2X| > \frac{t}{2} )= 2P(|X| > \frac{t}{2} )}\)
dobrze?
a jak pkt b) zrobić?
zmienne losowe niezależne o tym samym rozkładzie
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
zmienne losowe niezależne o tym samym rozkładzie
a) Niezbyt (w zasadzie każde przejście jest złe). Szczególnie boli pierwsza nierówność, która jest już w ogóle totalnie fałszywa. Dalsze w sumie nie lepsze. Nie możesz rozkładu łącznego zamieniać sobie na 2*rozkład brzegowy... A ostatnia równość to już hit i nawet nie wiem od której strony zacząć opowiadać co jest w niej źle...
\(\displaystyle{ P(|X-Y| \ge t ) \le P( |X|+|Y| \ge t ) \le P(|X|> t\slash 2 \ \vee |Y|> t\slash 2) \le \\ \\ \le P(|X|> t\slash 2) + P(|Y|> t\slash 2)=2 P(|X|> t\slash 2 )}\)
Przy czym warto by się zastanowić dlaczego możemy wzmocnić nierówności Nie jestem pewien czy już po pierwszym kroku nie trzeba było tego zrobić. To zadanie do przemyślenia dla Ciebie.
b) Robisz analogicznie, tylko trochę inaczej rozbijasz \(\displaystyle{ t}\).
\(\displaystyle{ P(|X-Y| \ge t ) \le P( |X|+|Y| \ge t ) \le P(|X|> t\slash 2 \ \vee |Y|> t\slash 2) \le \\ \\ \le P(|X|> t\slash 2) + P(|Y|> t\slash 2)=2 P(|X|> t\slash 2 )}\)
Przy czym warto by się zastanowić dlaczego możemy wzmocnić nierówności Nie jestem pewien czy już po pierwszym kroku nie trzeba było tego zrobić. To zadanie do przemyślenia dla Ciebie.
b) Robisz analogicznie, tylko trochę inaczej rozbijasz \(\displaystyle{ t}\).
Ostatnio zmieniony 3 gru 2014, o 17:49 przez Adifek, łącznie zmieniany 1 raz.
zmienne losowe niezależne o tym samym rozkładzie
Dlaczego to:
\(\displaystyle{ P( |X|+|Y| \ge t ) = P(|X|> t\slash 2 \ \vee |Y|> t\slash 2)}\)
jest prawdą?
EDIT: Usunąłem bzdury
\(\displaystyle{ P( |X|+|Y| \ge t ) = P(|X|> t\slash 2 \ \vee |Y|> t\slash 2)}\)
jest prawdą?
EDIT: Usunąłem bzdury
Ostatnio zmieniony 3 gru 2014, o 17:52 przez Alef, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
zmienne losowe niezależne o tym samym rozkładzie
To co napisałeś absolutnie nie jest prawdą. To, że suma dwóch liczb jest większa od \(\displaystyle{ t}\) nie oznacza, że każda z tych liczb jest większa od \(\displaystyle{ t\slash 2}\). Bo przecież możesz wziąć \(\displaystyle{ X=t\slash 3}\) i \(\displaystyle{ Y=t}\) i nierówność zajdzie. Natomiast KTÓRAŚ musi być większa od \(\displaystyle{ t\slash 2}\). Bo wiadomo, gdyby nie była, to suma nie byłaby większa od \(\displaystyle{ t}\).
zmienne losowe niezależne o tym samym rozkładzie
Masz rację. Zorientowałem się jak nacisnąłem przycisk wyślij.
BTW: To, że jedna zmienna losowa lub druga zmienna losowa jest większa od \(\displaystyle{ \frac{t}{2}}\) też nie gwarantuje, że ich suma jest większa od \(\displaystyle{ t}\).
BTW: To, że jedna zmienna losowa lub druga zmienna losowa jest większa od \(\displaystyle{ \frac{t}{2}}\) też nie gwarantuje, że ich suma jest większa od \(\displaystyle{ t}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
zmienne losowe niezależne o tym samym rozkładzie
Owszem. Tam powinna być nierówność, której nie dałem, bo padła mi bateria w myszce i za dużo korzystam z ctrl+c