zmienne losowe niezależne o tym samym rozkładzie

[21mat]

Jeśli zmienne \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne o tym samym rozkładzie, to dla \(\displaystyle{ t>0}\) spełnione są nierówności:
a) \(\displaystyle{ P(|X-Y| \ge t) \le 2P(|X|> \frac{t}{2})}\)
b) jeśli \(\displaystyle{ a \ge 0}\) jest takie, że \(\displaystyle{ P(X \le a) \ge p}\) oraz \(\displaystyle{ P(X \ge -a) \ge p}\) to \(\displaystyle{ P(|X-Y| \ge t) \ge pP(|X|>t-a)}\)

rozw:
a) \(\displaystyle{ P(|X-Y| \ge t) \le P(|X+Y| \ge t)=P(|2X| > \frac{t}{2} )= 2P(|X| > \frac{t}{2} )}\)
dobrze?
a jak pkt b) zrobić?

[Adifek]

a) Niezbyt (w zasadzie każde przejście jest złe). Szczególnie boli pierwsza nierówność, która jest już w ogóle totalnie fałszywa. Dalsze w sumie nie lepsze. Nie możesz rozkładu łącznego zamieniać sobie na 2*rozkład brzegowy... A ostatnia równość to już hit i nawet nie wiem od której strony zacząć opowiadać co jest w niej źle...


\(\displaystyle{ P(|X-Y| \ge t ) \le P( |X|+|Y| \ge t ) \le P(|X|> t\slash 2 \ \vee |Y|> t\slash 2) \le \\ \\ \le P(|X|> t\slash 2) + P(|Y|> t\slash 2)=2 P(|X|> t\slash 2 )}\)

Przy czym warto by się zastanowić dlaczego możemy wzmocnić nierówności Nie jestem pewien czy już po pierwszym kroku nie trzeba było tego zrobić. To zadanie do przemyślenia dla Ciebie.

b) Robisz analogicznie, tylko trochę inaczej rozbijasz \(\displaystyle{ t}\).

[21mat]

OK, dzięki za odpowiedź.

[Alef]

Dlaczego to:

\(\displaystyle{ P( |X|+|Y| \ge t ) = P(|X|> t\slash 2 \ \vee |Y|> t\slash 2)}\)

jest prawdą?

EDIT: Usunąłem bzdury

[Adifek]

To co napisałeś absolutnie nie jest prawdą. To, że suma dwóch liczb jest większa od \(\displaystyle{ t}\) nie oznacza, że każda z tych liczb jest większa od \(\displaystyle{ t\slash 2}\). Bo przecież możesz wziąć \(\displaystyle{ X=t\slash 3}\) i \(\displaystyle{ Y=t}\) i nierówność zajdzie. Natomiast KTÓRAŚ musi być większa od \(\displaystyle{ t\slash 2}\). Bo wiadomo, gdyby nie była, to suma nie byłaby większa od \(\displaystyle{ t}\).

[Alef]

Masz rację. Zorientowałem się jak nacisnąłem przycisk wyślij.

BTW: To, że jedna zmienna losowa lub druga zmienna losowa jest większa od \(\displaystyle{ \frac{t}{2}}\) też nie gwarantuje, że ich suma jest większa od \(\displaystyle{ t}\).

[Adifek]

Owszem. Tam powinna być nierówność, której nie dałem, bo padła mi bateria w myszce i za dużo korzystam z ctrl+c

[Alef]

Teraz jest ok