Niech R i S będą niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że R ma rozkład wykładniczy z parametrem 1, a s wykładniczy z parametrem 2. Oblicz prawdopodobieństwo, że pole koła o promieniu R jest mniejsze od pola prostokąta o bokach \(\displaystyle{ \pi \cdot S}\) i R+2S
Próbuje tak
\(\displaystyle{ P( \pi \cdot R^{2} <( \pi \cdot S) \cdot (R+2 \cdot S)
=P (\pi \cdot R^{2}- \pi \cdot S \cdot R+2 \cdot \pi \cdot S^{2}<0)
=P( \pi \cdot (R^{2}-S \cdot R+2 \cdot S^{2}<0
=P(R^{2}-S \cdot R+2 \cdot S^{2}<0)}\)
Moje pytanie czy do tej pory jest ok i jak dalej sobie z tym poradzić ?
Wektory losowe
-
bitel1993
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 29 maja 2013, o 01:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 15 razy
Wektory losowe
Tam się wkradł mały błąd powinno być
\(\displaystyle{ P(R^{2}-S \cdot R-2 \cdot S^{2}<0)=P(R+S) \cdot (R-2 \cdot S)<0)}\)
\(\displaystyle{ R+S}\) - to będzie zawsze większe od zera, a więc zostaje do sprawdzenie
\(\displaystyle{ P(R-2 \cdot S<0)}\)
R ma rozkład wykładniczy z parametrem 1, czyli jego gęstość wynosi \(\displaystyle{ e^{-R}}\)
S ma rozkład wykładniczy z parametrem 2, czyli jego gęstość wynosi \(\displaystyle{ 2 \cdot e^{-2 \cdot S}}\)
A więc rozkład łączny, to iloczyn rozkładów bo są niezależne czyli gęstość wynosi\(\displaystyle{ 2 \cdot e^{-R-2 \cdot S}}\)
A więc, żeby policzyć prawdopodobieństwo liczymy teraz całkę po gęstości po odpowiednich przedziałach i to będzie
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }( \int_{ \frac{R}{2} }^{ \infty } 2 \cdot e^{-R-2 \cdot S} \mbox{d}s )\mbox{d}r}\)
Prosiłbym o sprawdzenie tego rozumowania.
\(\displaystyle{ P(R^{2}-S \cdot R-2 \cdot S^{2}<0)=P(R+S) \cdot (R-2 \cdot S)<0)}\)
\(\displaystyle{ R+S}\) - to będzie zawsze większe od zera, a więc zostaje do sprawdzenie
\(\displaystyle{ P(R-2 \cdot S<0)}\)
R ma rozkład wykładniczy z parametrem 1, czyli jego gęstość wynosi \(\displaystyle{ e^{-R}}\)
S ma rozkład wykładniczy z parametrem 2, czyli jego gęstość wynosi \(\displaystyle{ 2 \cdot e^{-2 \cdot S}}\)
A więc rozkład łączny, to iloczyn rozkładów bo są niezależne czyli gęstość wynosi\(\displaystyle{ 2 \cdot e^{-R-2 \cdot S}}\)
A więc, żeby policzyć prawdopodobieństwo liczymy teraz całkę po gęstości po odpowiednich przedziałach i to będzie
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }( \int_{ \frac{R}{2} }^{ \infty } 2 \cdot e^{-R-2 \cdot S} \mbox{d}s )\mbox{d}r}\)
Prosiłbym o sprawdzenie tego rozumowania.