gęstośc brzegowa i problem z całką

[leszczu450]

Cześć !

Wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma gęstość:

\(\displaystyle{ g(x,y)= 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot e^{-2x} \cdot \chi_{\{0<y<x\}}}\)

Mam obliczyć rozkład brzegowy \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\)

Liczę więc:

\(\displaystyle{ f_X(x)= \int_0^x 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot e^{-2x} \mathrm{d}y=2e^{-2x}}\) dla \(\displaystyle{ y \in (0, + \infty)}\)

Teraz chcę policzyć rozkład brzegowy \(\displaystyle{ Y}\)

\(\displaystyle{ f_Y(y)= \int_0^y 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot e^{-2x} \mathrm{d}x}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left( 0, + \infty\right)}\)

No i tu mam problem. Nie wiem jak tę całkę wyliczyć. Ba. Wolfram chyba szaleje bo też mu jakieś bzdury wychodzą.

Czy coś robię źle ? Może granice całkowania złe robię przy liczeniu rozkładu \(\displaystyle{ Y}\) ?

Z góry dziękuję za pomoc.

[lukasz1804]

Cześć,

jedyne co mi przychodzi do głowy (a sugeruje to program Maxima), to mamy do czynienia z tzw. dolną niekompletną (niepełną) funkcją Gamma.

[leszczu450]

lukasz1804, zasugerowałem się piątym postem w tym temacie:
341455.htm

Tutaj koleżanka rzekoma wyliczyła to (dla mnie nieznanym sposobem). O co więc chodzi ?

[lukasz1804]

Obawiam się, że dyskusja we wskazanym temacie nie jest dla nas wiążąca, bo istotnie do wyznaczenia wartości oczekiwanej rozkładu brzegowego nie trzeba znać funkcji gęstości.

[leszczu450]

lukasz1804, no i właśnie tego też nie rozumiem. Dlaczego ? Przecież:

\(\displaystyle{ EX= \int_{\RR} x \cdot f_X(x)\mathrm{d}x}\)

więc jak mogę uwolnić się tutaj od wylcizenia \(\displaystyle{ f_X(x)}\) ?

[lukasz1804]

Pomyślałem, że może być pomocna taka tożsamość: \(\displaystyle{ \int_0^\infty yf_Y(y)\dd y=\int_0^\infty y\left(\int_0^y g(x,y)\dd x\right)\dd y=\iint_{\RR^2}yg(x,y)\dd x\dd y=\int_0^\infty\left(\int_0^x yg(x,y)\dd y\right)\dd x}\).

[leszczu450]

A nie powinno być tak:

\(\displaystyle{ \int_0^\infty yf_Y(y)\dd y=\int_0^\infty y\left(\int_0^x g(x,y)\dd x\right)\dd y}\)

?

[lukasz1804]

Sam w 1. poście napisałeś, że \(\displaystyle{ f_Y(y)=\int_0^yg(x,y)\dd x}\) (oczywiście dla \(\displaystyle{ x}\) z zadanego zakresu).

(Zresztą na ogół granica całkowania nie jest taka sama jak zmienna, po której odbywa się całkowanie.)

[leszczu450]

lukasz1804, to oczywiście źle napisałem. Powinno w pierwszym poście być:

\(\displaystyle{ f_X(x)= \int_0^x 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot e^{-2x} \mathrm{d}y=2e^{-2x}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left( 0, + \infty\right)}\)

zaś

\(\displaystyle{ f_Y(y)= \int_0^y 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot e^{-2x} \mathrm{d}x}\) dla \(\displaystyle{ y \in \left( 0, + \infty\right)}\)

Czy głupoty gadam ?

[lukasz1804]

Ok, teraz jest w porządku. Ale spokojnie można skorzystać z tożsamości, którą wyżej napisałem.

[leszczu450]

lukasz1804, no ale właśnie nie rozumiem tego przejścia:

\(\displaystyle{ \int_0^\infty y\left(\int_0^y g(x,y)\dd x\right)\dd y=\iint_{\RR^2}yg(x,y)\dd x\dd y}\)

[lukasz1804]

Po lewej stronie można włączyć \(\displaystyle{ y}\) pod drugą całkę, a następnie zamienić całkowanie po trójkącie całkowanie po całej płaszczyźnie korzystając z określenia funkcji charakterystycznej (zawartej we wzorze funkcji \(\displaystyle{ g}\) - poza wnętrzem trójkąta funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest równa zeru).