Witam, czy mógłby mi ktoś pomóc w wyznaczeniu granic całkowania przy liczeniu poniższej dystrybuanty?:
\(\displaystyle{ F_{(X,Y)}(s,t)=\int_{-\infty}^{s} \int_{-\infty}^{t}\frac{5}{2}\exp(-x-2y)\quad \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,2x)}(y)\quad \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,\infty)}(x)dxdy}\).
Dystrybuanta- granice całkowania
-
Everard
- Użytkownik
- Posty: 166
- Rejestracja: 11 lip 2007, o 22:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Pomógł: 49 razy
Dystrybuanta- granice całkowania
Wszystko jest nieujemne, więc możemy zamieniać kolejność całkowania. Lecimy:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^s\int_{-\infty}^t\frac52 \exp(-x-2y)1_{(0,2x)}(y)1_{(0,\infty)}(x)dxdy=\int_{-\infty}^t\int_{-\infty}^s\frac52 \exp(-x-2y)1_{(0,2x)}(y)1_{(0,\infty)}(x)dydx=\int_{0}^t\int_{0}^{\min\{s,2x\}}\frac52 \exp(-x-2y)dydx=\begin{cases}
\int_{0}^t\int_{0}^{2x}\frac52 \exp(-x-2y)dydx& t<\frac s2\\
\int_{0}^\frac s2\int_{0}^{2x}\frac52 \exp(-x-2y)dydx+\int_{\frac s2}^t\int_{0}^{s}\frac52 \exp(-x-2y)dydx& \frac s2\le t
\end{cases}}\)
Wynik całkowania możesz sobie doliczyć.
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^s\int_{-\infty}^t\frac52 \exp(-x-2y)1_{(0,2x)}(y)1_{(0,\infty)}(x)dxdy=\int_{-\infty}^t\int_{-\infty}^s\frac52 \exp(-x-2y)1_{(0,2x)}(y)1_{(0,\infty)}(x)dydx=\int_{0}^t\int_{0}^{\min\{s,2x\}}\frac52 \exp(-x-2y)dydx=\begin{cases}
\int_{0}^t\int_{0}^{2x}\frac52 \exp(-x-2y)dydx& t<\frac s2\\
\int_{0}^\frac s2\int_{0}^{2x}\frac52 \exp(-x-2y)dydx+\int_{\frac s2}^t\int_{0}^{s}\frac52 \exp(-x-2y)dydx& \frac s2\le t
\end{cases}}\)
Wynik całkowania możesz sobie doliczyć.