Gracz z kapitałem początkowym 5zł rzuca monetą. Jak wypadnie orzeł to wygrywa 1zł jak wypadnie reszka to przegrywa 1zł. Gra kończy się w momencie bankructwa. Jakie jest prawdopodobieństwo że gracz w chwili \(\displaystyle{ T=8}\) będzie miał 3zł?
zatem najpierw szukamy wszystkich dróg z
\(\displaystyle{ S_{0}=5}\) do \(\displaystyle{ S_{8}=3}\) o długości \(\displaystyle{ n=8}\)
\(\displaystyle{ N_{n}(a,b)= {n \choose \frac{1}{2}(n+b-a) }}\)
\(\displaystyle{ N_{8}(5,3)= {8 \choose 3}=56}\)
następnie szukamy liczby dróg z
\(\displaystyle{ S_{0}=5}\) do \(\displaystyle{ S_{8}=3}\) o długości \(\displaystyle{ n=8}\) takich że przechodzą przez \(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ N_{n}^{0}(a,b)=N_{n}(-a,b)}\) jeżeli \(\displaystyle{ a,b>0}\)
\(\displaystyle{ N_{8}^{0}(5,3)=N_{8}(-5,3)= {8 \choose \ 8 }=1}\)
czyli szukane prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ \frac{wszystkie drogi - drogi z zerem}{wszystkie drogi}= \frac{55}{56}}\)?