zmienne losowe, warunkowa wartość oczekiwana
zmienne losowe, warunkowa wartość oczekiwana
Na przestrzeni \(\displaystyle{ [0,1]}\) z \(\displaystyle{ B _{[0,1]}}\) i miarą \(\displaystyle{ dx}\) dane są zmienne losowe: \(\displaystyle{ X=x}\) oraz \(\displaystyle{ Y=sin \pi x}\). Jak wygląda \(\displaystyle{ \sigma(Y)}\), oblicz \(\displaystyle{ E(X|Y)}\) oraz \(\displaystyle{ P(X \in A|Y)}\) dla \(\displaystyle{ A \in B _{[0,1]}}\)?
Czy \(\displaystyle{ E(X|Y)= \frac{1}{2}}\) skoro zbiór jest symetryczny względem \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\)?
Czy \(\displaystyle{ E(X|Y)= \frac{1}{2}}\) skoro zbiór jest symetryczny względem \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\)?
zmienne losowe, warunkowa wartość oczekiwana
Dzięki Więc \(\displaystyle{ \sigma(Y)=\left\{ [0,u) \cup (1-u,1] \right\}}\) dla \(\displaystyle{ 0<u< \frac{1}{2}}\)? a jak policzyć \(\displaystyle{ P(X \in A|Y)}\) dla \(\displaystyle{ A \in B _{[0,1]}}\)?
zmienne losowe, warunkowa wartość oczekiwana
Spróbuj zrobić sobie to zadanie dla np. \(\displaystyle{ X=x^2}\), bo to już nie będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
zmienne losowe, warunkowa wartość oczekiwana
Alef, z tego co pamiętam, założenie prof. Żaka było właśnie takie, by to policzyć w pamięci
Zauważ, że \(\displaystyle{ P(X\in A |Y) = \mathbb{E}( 1_A|Y)}\). Co się stanie, gdy weźmiesz \(\displaystyle{ A}\) z \(\displaystyle{ \sigma (Y)}\), a co, gdy weźmiesz spoza?
Nie \(\displaystyle{ \left\{ [0,u) \cup (1-u,1] \right\}}\) tylko \(\displaystyle{ \sigma ( \left\{ [0,u) \cup (1-u,1] \right\})}\). To dość istotna różnicaDzięki Więc \(\displaystyle{ \sigma(Y)=\left\{ [0,u) \cup (1-u,1] \right\}}\) dla\(\displaystyle{ 0<u< \frac{1}{2}}\)?
Zauważ, że \(\displaystyle{ P(X\in A |Y) = \mathbb{E}( 1_A|Y)}\). Co się stanie, gdy weźmiesz \(\displaystyle{ A}\) z \(\displaystyle{ \sigma (Y)}\), a co, gdy weźmiesz spoza?
zmienne losowe, warunkowa wartość oczekiwana
Nie podoba mi się to sigma ciało.
Wydaje mi się, że dla \(\displaystyle{ X=x^{2}}\), WWO będzie postaci
\(\displaystyle{ E(X|Y)(x)=\frac{x^{2}+(1-x)^{2}}{2}}\)
Wydaje mi się, że dla \(\displaystyle{ X=x^{2}}\), WWO będzie postaci
\(\displaystyle{ E(X|Y)(x)=\frac{x^{2}+(1-x)^{2}}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
zmienne losowe, warunkowa wartość oczekiwana
Możemy policzyć
\(\displaystyle{ \int_0^u \mathbb{E}(X^2|Y)(x) dx - \int_1^{1-u} \mathbb{E}(X^2|Y)(x) dx = \int_0^u x^2 dx - \int_1^{1-u} x^2 dx \\ \\
\mathbb{E}(X^2|Y)(u) + \mathbb{E}(X^2|Y)(1-u) = u^2 + (1-u)^2}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X^2|Y)(u)}\) jest mierzalna względem sigma siała generowanego przez zbiory symetryczne względem \(\displaystyle{ 0.5}\), to \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X^2|Y)(u) = \mathbb{E}(X^2|Y)(1-u)}\), więc jest dokładnie tak jak pisze Alef.
\(\displaystyle{ \int_0^u \mathbb{E}(X^2|Y)(x) dx - \int_1^{1-u} \mathbb{E}(X^2|Y)(x) dx = \int_0^u x^2 dx - \int_1^{1-u} x^2 dx \\ \\
\mathbb{E}(X^2|Y)(u) + \mathbb{E}(X^2|Y)(1-u) = u^2 + (1-u)^2}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X^2|Y)(u)}\) jest mierzalna względem sigma siała generowanego przez zbiory symetryczne względem \(\displaystyle{ 0.5}\), to \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X^2|Y)(u) = \mathbb{E}(X^2|Y)(1-u)}\), więc jest dokładnie tak jak pisze Alef.
zmienne losowe, warunkowa wartość oczekiwana
Jako sigma ciało wziąłbym:
\(\displaystyle{ \sigma\left( C\cup (1-C)\colon C\in\mathcal{B}\left( \left[ 0,\frac{1}{2}\right]\right)\right)}\)
a później tak jak liczył Adifek.
Poza tym mamy twierdzenie, że istnieje funkcja mierzalna \(\displaystyle{ f}\) taka, że
\(\displaystyle{ E(X|Y)(\omega)=f(Y(\omega))}\)
Zatem, skoro \(\displaystyle{ Y(\omega)}\) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ \omega=\frac{1}{2}}\), to
\(\displaystyle{ E(X|Y)(\omega)=f(Y(\omega))=f(Y(1-\omega))=E(X|Y)(1-\omega)}\)
co jest potrzebne do naszych rachunków.
Na koniec warto zauważyć, że w ten sposób jak to zrobił Adifek można pokazać, iż w tym przypadku będzie:
\(\displaystyle{ E(X|Y)(\omega)=\frac{X(\omega)+X(1-\omega)}{2}}\)
więc dla \(\displaystyle{ X(\omega)=\omega}\) rzeczywiście \(\displaystyle{ E(X|Y)(\omega)=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sigma\left( C\cup (1-C)\colon C\in\mathcal{B}\left( \left[ 0,\frac{1}{2}\right]\right)\right)}\)
a później tak jak liczył Adifek.
Poza tym mamy twierdzenie, że istnieje funkcja mierzalna \(\displaystyle{ f}\) taka, że
\(\displaystyle{ E(X|Y)(\omega)=f(Y(\omega))}\)
Zatem, skoro \(\displaystyle{ Y(\omega)}\) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ \omega=\frac{1}{2}}\), to
\(\displaystyle{ E(X|Y)(\omega)=f(Y(\omega))=f(Y(1-\omega))=E(X|Y)(1-\omega)}\)
co jest potrzebne do naszych rachunków.
Na koniec warto zauważyć, że w ten sposób jak to zrobił Adifek można pokazać, iż w tym przypadku będzie:
\(\displaystyle{ E(X|Y)(\omega)=\frac{X(\omega)+X(1-\omega)}{2}}\)
więc dla \(\displaystyle{ X(\omega)=\omega}\) rzeczywiście \(\displaystyle{ E(X|Y)(\omega)=\frac{1}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
zmienne losowe, warunkowa wartość oczekiwana
Alef, przecież zbiory borelowskie są generowane przez odcinki
Strzelasz z armaty do wróbla. Z definicji wystarczy. Skoro WWO ma być mierzalna względem sigma ciała, a to sigma ciało jest odpowiednio symetryczne, to i przeciwobrazy WWO muszą być symetryczne, więc i samo WWO też.Poza tym mamy twierdzenie, że istnieje funkcja mierzalna f taka, że
\(\displaystyle{ E(X|Y)(\omega)=f(Y(\omega))}\)
Zatem, skoro \(\displaystyle{ Y(\omega)}\)jest symetryczna względem \(\displaystyle{ \omega=\frac{1}{2}}\), to
\(\displaystyle{ E(X|Y)(\omega)=f(Y(\omega))=f(Y(1-\omega))=E(X|Y)(1-\omega)}\)
zmienne losowe, warunkowa wartość oczekiwana
Przedział np.
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{4},\frac{1}{3}\right)\cup\left( \frac{2}{3},\frac{3}{4}\right)}\)
należy do sigma ciała
\(\displaystyle{ \sigma ( \left\{ [0,u) \cup (1-u,1] \right\})}\)
czy nie?
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{4},\frac{1}{3}\right)\cup\left( \frac{2}{3},\frac{3}{4}\right)}\)
należy do sigma ciała
\(\displaystyle{ \sigma ( \left\{ [0,u) \cup (1-u,1] \right\})}\)
czy nie?
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
zmienne losowe, warunkowa wartość oczekiwana
Należy.
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{4},\frac{1}{3}\right)\cup\left( \frac{2}{3},\frac{3}{4}\right) = \left( \left[ 0,\frac{1}{3}\right)\cup\left( \frac{2}{3},1 \right] \right) \setminus \left( \left[ 0,\frac{1}{4}\right]\cup\left[ \frac{3}{4},1 \right] \right) = \\ \\
\left( \left[ 0,\frac{1}{3}\right)\cup\left( \frac{2}{3},1 \right] \right) \setminus \left( \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} \left[ 0,\frac{1}{4} + \frac{1}{n} \right)\cup \bigcap_{m=1}^{\infty} \left(\frac{3}{4} -\frac{1}{m},1 \right] \right)}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{4},\frac{1}{3}\right)\cup\left( \frac{2}{3},\frac{3}{4}\right) = \left( \left[ 0,\frac{1}{3}\right)\cup\left( \frac{2}{3},1 \right] \right) \setminus \left( \left[ 0,\frac{1}{4}\right]\cup\left[ \frac{3}{4},1 \right] \right) = \\ \\
\left( \left[ 0,\frac{1}{3}\right)\cup\left( \frac{2}{3},1 \right] \right) \setminus \left( \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} \left[ 0,\frac{1}{4} + \frac{1}{n} \right)\cup \bigcap_{m=1}^{\infty} \left(\frac{3}{4} -\frac{1}{m},1 \right] \right)}\)