Jaki jest rozkład liczności potomstwa owada, u którego liczba złożonych jaj ma rozkład Poissona, i z każdego z jaj niezależnie wykluwa się młode z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\)?
I łatwo sprawdzić, że ten rozkład to:
\(\displaystyle{ Pr(X=k) = \frac{e^{-{p\lambda}} (\lambda p)^k}{k!}}\)
\(\displaystyle{ Y}\) - ilość niewyklutych jaj.
\(\displaystyle{ Pr(X=l) = \frac{e^{-p\lambda}(\lambda p)^l}{l!}}\)
Jak teraz pokazać, że te zmienne są niezależne ? Widzę, że :
\(\displaystyle{ Pr(X=k) \cdot Pr(Y=l) = \frac{e^{-\lambda}\cdot\lambda^{k+l}\cdot p^k(1-p)^l}{k!l!}}\)
Ale dlaczego to miałoby być równe:
\(\displaystyle{ Pr(X=k\wedge Y=l)}\) ?