błądzenie losowe

[cos_son89]

Gracz z kapitałem początkowym \(\displaystyle{ k=3zł}\) gra do momentu bankructwa lub do momentu uzyskania \(\displaystyle{ N=5zł}\).
W każdym kroku wygrywa 1zł z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) przegrywa 1zł z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) lub gra kończy się remisem z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).
Oblicz prawdopodobieństwo ze gracz uzbiera 5zł

\(\displaystyle{ N=0}\) bariera pochłaniająca dolna
\(\displaystyle{ N=5}\) bariera pochłaniająca górna
\(\displaystyle{ S_{0}=3}\)
A-zdarzenie że gracz uzbiera 5zł że wygra

warunkujemy ze względu na pierwszy krok

\(\displaystyle{ p_{k}=P(A|S_{0}=k)=P(A|S_{0}=k,X_{1}=1)P(X_{1}=1|S_{0}=k)+
P(A|S_{0}=k,X_{1}=-1)P(X_{1}=-1|S_{0}=k)+P(A|S_{0}=k,X_{1}=0)P(X_{1}=0|S_{0}=k)=
p_{k+1}P(X_{1}=1|S_{0}=k)+p_{k-1}P(X_{1}=-1|S_{0}=k)+p_{k}P(X_{1}=0|S_{0}=k)}\)

\(\displaystyle{ p_{k}=p_{k+1} \frac{1}{3}+p_{k-1} \frac{1}{3}+p_{k} \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ p_{k+1} \frac{1}{3}+p_{k-1} \frac{1}{3}-p_{k} \frac{2}{3}=0}\)

rozwiązanie tego równana rożnicowego ogólne to :
\(\displaystyle{ p_{k}=C_{1}+kC_{2}}\)
warunki brzegowe:
\(\displaystyle{ p_{0}=0 i p_{5}=1}\) czyli \(\displaystyle{ C_{1}=0 , C_{2} \frac{1}{5}}\)
\(\displaystyle{ k=3}\)

zatem \(\displaystyle{ p_{3}=0+3 \frac{1}{5}= \frac{3}{5}}\)???

[cain11]

dlaczego takie warunki brzegowe?

[cos_son89]

Bo jeśli ma 0 zl to gra kończy się wiec prawdopodobieństwo ze wygra 5zl to zero.jeśli ma 5 zm to wygral