błądzenie losowe

[cos_son89]

Witam,

Znajdź liczbę dróg w błądzeniu losowym z \(\displaystyle{ S_{0}=0}\) do \(\displaystyle{ S_{20}=0}\)
spełniających jednocześnie obydwa poniższe warunki:
\(\displaystyle{ S_{k} \le -2}\) dla \(\displaystyle{ 2 \le k \le 8}\)
\(\displaystyle{ S_{k}>0}\) dla \(\displaystyle{ 10<k<20}\)

Dwa pierwsze kroki ustalone (dwa razy w dół) - mamy taką jedną konkretną drogę,
potem przez 4 kroki jesteśmy w zerze albo poniżej zera - jak odwrócimy to (odbijemy symetrycznie) to szukamy liczby dróg nieujemnych z zera do zera o długości \(\displaystyle{ n=4}\) czyli jest ich \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} {2n \choose n}}\) czyli 14 jest takich drog
potem mamy znów dwa kroki ustalone(dwa do góry) jest jedna taka droga
a potem przez 10 kroków mamy być powyżej zera zatem szukamy dróg dodatnich dróg z zera do zera o długości \(\displaystyle{ n=10}\) jest ich \(\displaystyle{ \frac{1}{n} {2n-2 \choose n-1}}\) czyli 2431

zatem ostatecznie szukanaliczba drog to \(\displaystyle{ 1+14+1+2431}\) ?

[fon_nojman]

...potem przez 4 kroki jesteśmy w zerze albo poniżej zera - jak odwrócimy to (odbijemy symetrycznie) to szukamy liczby dróg nieujemnych z zera do zera o długości \(\displaystyle{ n=4}\)...

Coś mi tu nie pasuje. Jak dojdziemy do \(\displaystyle{ (2,-2)}\) to musimy dojść do \(\displaystyle{ (8,-2)}\) nie przekraczając \(\displaystyle{ -2}\) czyli takich dróg będzie tyle co dróg nieujemnych z \(\displaystyle{ (0,0)}\) do \(\displaystyle{ (6,0)}\) (drogi nieujemne z zera do zera o długości \(\displaystyle{ 6}\)).

[cos_son89]

Chidziło mi o to ze potem po dwóch pierwszych krokach w dół przez 4 kroki musimy być w -2 albo poniżej. odbijamy ten odcinek symetrycznie i przez 4 kroki musimy być w 2 albo powyżej dwa a ze bladzenie losowe jest jednorodne to tak jabysmy szukali dróg odlugosci 4 nieujemnych z zera i kończących sie w zerze

[norwimaj]

\(\displaystyle{ n=4}\) czyli jest ich \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} {2n \choose n}}\) czyli 14 jest takich drog

Pewnie chodziło Ci o \(\displaystyle{ n=3,}\) bo nawet licząc na palcach można zobaczyć, że tych dróg jest \(\displaystyle{ 5.}\)

\(\displaystyle{ \begin{array}{l|rrrrrrr}
& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\\hline
-2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 5 \\
-3 & & 1 & 0 & 2 & 0 & 5 & 0 \\
-4 & & & 1 & 0 & 3 & 0 & 9 \\
-5 & & & & 1 & 0 & 4 & 0 \\
-6 & & & & & 1 & 0 & 5 \\
-7 & & & & & & 1 & 0 \\
-8 & & & & & & & 1
\end{array}}\)

a potem przez 10 kroków mamy być powyżej zera zatem szukamy dróg dodatnich dróg z zera do zera o długości \(\displaystyle{ n=10}\) jest ich \(\displaystyle{ \frac{1}{n} {2n-2 \choose n-1}}\) czyli 2431

Nie wiem, skąd masz te wzory, ale upewnij się, co oznacza w nich symbol \(\displaystyle{ n.}\) Tych dróg jest \(\displaystyle{ 14,}\) czyli chyba \(\displaystyle{ \frac15\binom{10-2}{5-1}.}\)

zatem ostatecznie szukanaliczba drog to \(\displaystyle{ 1+14+1+2431}\) ?

To nie jest poprawne zastosowanie reguły mnożenia.

[cos_son89]

Te wzory sa poprawne. Byli oddzielne takie zadanie aby udowodnic je

[norwimaj]

Te wzory sa poprawne.

Możliwe że są, nie przeczę, ale trzeba je jeszcze poprawnie zastosować.

[cos_son89]

Juz widzę mój błąd. W tym przypadku 2n=4 czyli n=2 zatem są dwie takie drogi(bo w bładzeniu losowym w każdym kroku musimy iść do gory albo w dol) bo te 5 drog co Ci wyszło to przy założeniu ze w kolejnym kroku zostaniemy w tym samym punkcie ?

[norwimaj]

W tym przypadku 2n=4 czyli n=2 zatem są dwie takie drogi(bo w bładzeniu losowym w każdym kroku musimy iść do gory albo w dol)

\(\displaystyle{ 2n=8-2=6}\)

Tych dróg jest \(\displaystyle{ 5,}\) co ręcznie sprawdziłem w taki sposób:

\(\displaystyle{ \begin{array}{l|rrrrrrr}
& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\\hline
-2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 5 \\
-3 & & 1 & 0 & 2 & 0 & 5 & 0 \\
-4 & & & 1 & 0 & 3 & 0 & 9 \\
-5 & & & & 1 & 0 & 4 & 0 \\
-6 & & & & & 1 & 0 & 5 \\
-7 & & & & & & 1 & 0 \\
-8 & & & & & & & 1
\end{array}}\)

Liczba wpisana w \(\displaystyle{ i}\)-tym wierszu, w \(\displaystyle{ j}\)-ej kolumnie w tabeli jest równa liczbie dróg z punktu \(\displaystyle{ (2,-2)}\) do \(\displaystyle{ (j,i).}\) Kolejną kolumnę tabeli otrzymujemy sumując odpowiednie pary liczb z poprzedniej kolumny.

bo te 5 drog co Ci wyszło to przy założeniu ze w kolejnym kroku zostaniemy w tym samym punkcie ?

Nie, przy założeniu, że za każdym razem poruszamy się o \(\displaystyle{ \pm1.}\)

[cos_son89]

z zera do zera, droga o długości 4, nie spadamy poniżej zera i poruszamy sie w każdym kroku do gory albo w dół i wychodzi 5 dróg?..

[norwimaj]

Dlaczego o długości \(\displaystyle{ 4}\)?

\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\multiput(0,0)(20,0){3}{
\put(0,0){\line(1,1){10}}
\put(10,10){\line(1,-1){10}}}

\put(0,-25){
\put(0,0){\line(1,1){10}}
\put(10,10){\line(1,-1){10}}
\put(20,0){\line(1,1){20}}
\put(40,20){\line(1,-1){20}}
}

\put(0,-50){
\put(0,0){\line(1,1){20}}
\put(20,20){\line(1,-1){20}}
\put(40,0){\line(1,1){10}}
\put(50,10){\line(1,-1){10}}
}

\put(0,-75){
\put(0,0){\line(1,1){20}}
\put(20,20){\line(1,-1){10}}
\put(30,10){\line(1,1){10}}
\put(40,20){\line(1,-1){20}}
}

\put(0,-100){
\put(0,0){\line(1,1){30}}
\put(30,30){\line(1,-1){30}}
}

\end{picture}}\)

[cos_son89]

aaa faktycznie od 4 do 8 mamy być w zerze albo wyżej.ok czyli \(\displaystyle{ 2n=6=8-4}\)
\(\displaystyle{ n=3}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} {2n \choose n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3+1} {6 \choose 3} = 5}\)

a potem ten odcinek że od \(\displaystyle{ 10<k<20}\) mamy być powyżej zera i startujemy z zera i kończymy w zerze czyli \(\displaystyle{ S_{10}=S_{20}=0}\) czyli długość drogi to \(\displaystyle{ 20-10=10}\)
i znów \(\displaystyle{ 2n=10}\) \(\displaystyle{ n=5}\) i liczba takich dróg to
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} {2n-2 \choose n-1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{5} {8 \choose 4}=14}\)

i ostateczna szukana liczba dróg to \(\displaystyle{ 1*5*1*14}\)