Oczekiwana długość życia x / mat. aktuarialna

[amatorska_ekspertyza]

Wykazać, że przy założeniu rozkładu jednostajnego w okresach ułamkowych, zachodzi :

\(\displaystyle{ e_x^o=p_x e_{x+1}^o +1 -\frac{1}{2} q_x}\)

ma ktoś pomysł jak należy to ugryźć ?

[Prefix]

Proste zadanko jak się zna taki wzór
\(\displaystyle{ e_x^o=p_x e_{x+1}^o + \int_{0}^{1}._t p_x dt}\)
(wytłumaczenie: oczekiwana długość życia dwudziestolatka to oczekiwana długość życia \(\displaystyle{ 21}\)-latka pod warunkiem, że ten najbliższy rok przeżyje (czyli razy \(\displaystyle{ p_x}\)) dodać wartość oczekiwaną przeżytego czasu w ciągu najbliższego roku gdy nie dożyje nast. urodzin).

Czyli
\(\displaystyle{ e_x^o=p_x e_{x+1}^o + \int_{0}^{1}._t p_x dt}\)
\(\displaystyle{ e_x^o=p_x e_{x+1}^o +\int_{0}^{1}1-t q_x dt}\) \(\displaystyle{ (1)}\)
\(\displaystyle{ e_x^o=p_x e_{x+1}^o +1-\frac{1}{2} q_x}\)

To w \(\displaystyle{ (1)}\) w całce wynika z założeń \(\displaystyle{ UDD}\)

[amatorska_ekspertyza]

dzięki! wszystko jasne