Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są zmiennymi losowymi całkowalnymi z kwadratem, to warunki \(\displaystyle{ E(X|Y)=Y}\) i \(\displaystyle{ E(Y|X)=X}\) implikują\(\displaystyle{ X=Y}\) P-p.n.
Mam to tak zrobione: \(\displaystyle{ EXY=EE(XY|Y)=EYE(X|Y)=EYEY=EY^2}\)
\(\displaystyle{ EXY=EE(XY|X)=EXE(X|Y)=EX^2}\)
\(\displaystyle{ E(X-Y)^2=E(X^2-2XY+Y^2)=EX^2-2EXY+EY^2=0}\)
Dlaczego jest tak: \(\displaystyle{ EXY=EE(XY|Y)}\)?
I dlaczego można zrobić tak: \(\displaystyle{ EE(XY|X)=EXE(X|Y)}\)? To wynika z tego: \(\displaystyle{ E(XY|X)=XE(Y|X)}\)? To dlaczego to \(\displaystyle{ EE(XY|X)}\) nie jest równe \(\displaystyle{ E(E(XY|X))}\) tylko iloczynowi tych wartości oczekiwanych?