Cześć. Mam przed sobą na jutro oto te 3 zadania:
1. Rzucamy n razy monetą asymetryczną. Prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi p.
Wykaż, że prawdopodobieństwo uzyskania k orłów w n rzutach wynosi:
\(\displaystyle{ {n \choose k}p ^{k}(1-p) ^{n-k}}\)
2. Mamy trzy automaty z kawą. Wiemy, że jeden z nich wydaje kawę zawsze, drugi z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a trzeci tylko zjada monety. Nie wiemy jednak, który jest który.
Przypuśćmy, że wrzuciliśmy monetę do pierwszego automatu, a on nie wydał kawy. Potem wrzuciliśmy
monetę do drugiego automatu, który wydał kawę. Zachęceni sukcesem wrzuciliśmy jeszcze raz monetę do drugiego automatu, który ponownie wydał nam kawę.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugi automat jeszcze raz wyda nam kawę, jeśli podejmiemy trzecią próbę?
3. W turnieju rycerskim bierze udział \(\displaystyle{ 2^{n}}\) uczestników, w tym dwóch braci. Walki toczy się w systemie turniejowym, to znaczy spośród zwycięzców danej tury walk losuje się pary do kolejnej rundy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że bracia będą musieli ze sobą walczyć? Zakładamy, że poziom jest wyrównany i prawdopodobieństwo wygranej dla dowolnej osoby w dowolnej parze wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).
AD 1. Próbowałem to jakoś podjąć, ale nie wychodzi.
AD 2. Są 3 kawomaty. Po wrzuceniu monety do pierwszego, ten nie zwrócił kawy, więc na pewno nie jest to automat, który zawsze zwraca kawę. Drugi automat zwrócił kawę, więc jest to albo automat, który zawsze zwraca kawę, albo automat, który zwraca kawę tylko w połowie przypadków. Liczę prawdopodobieństwo całkowite:
\(\displaystyle{ P(K)= \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}= \frac{17}{24}}\)
Czy jest to dobry wynik?
AD 3. Czy należy tu zastosować prawdopodobieństwo całkowite? Prawdopodobieństwo, że bracia będą ze sobą walczyć w pierwszej rundzie (\(\displaystyle{ \frac{1}{2 ^{n}}}\) ?) * prawdopodobieństwo, że będą walczyć w drugiej (\(\displaystyle{ \frac{1}{2 ^{n-1}} \cdot\frac{1}{2}}\) ?) *... ?
Dziękuję za pomoc!
