Dwa pierwsze momenty procesu

[kryg196]

Hej mam zadanie: Dany jest proces \(\displaystyle{ X_{n}:=\cos(nU), (n \ge 1)}\), gdzie \(\displaystyle{ U}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [-\pi , \pi]}\). Obliczyć dwa pierwsze momenty procesu \(\displaystyle{ X_{n}}\).

Wydaje mi się, że chodzi o wyliczenie \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X^2)}\).
Obliczyłem, że na tym odcinku \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X)= 0}\) oraz \(\displaystyle{ Var(X)=\frac{\pi^2}{3}}\).
Problem mam teraz z tym cosinusem...

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_{n})=\mathbb{E}(\cos(nU))=?}\)

Proszę o jakieś wskazówki

[Adifek]

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_{n})=\mathbb{E}(\cos(nU))=\int_{-\pi}^{\pi}\cos (nu) \frac{1}{2\pi}du}\)

[kryg196]

Dziękuje czyli \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_{n}) = 0}\).

A jak z \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_{n}^2)}\)?

\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2(X_{n}) = \mathbb{E}(X_{n}^2) - (\mathbb{E}(X_{n}))^2}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2(X_{n}) = \mathbb{E}(X_{n}^2)}\)

Czy to tak ma być \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_{n}^2) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\cos (nu^2)du}\)?

[Adifek]

Podstawy się kłaniają....

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X^2_{n})=\mathbb{E}(\cos(nU))^2=\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 (nu)\frac{1}{2\pi}du}\)

[kryg196]

nie wiem jak mogłem wcześniej tak napisać na dzisiaj dość nauki, wszystko już jest jasne, dzięki