Rozkład zmiennej- zad. rozwiązane

[mwrooo]

Witam, wiem, że zadanie tego typu pojawiło się już nieraz więc rozwiązałem je na podstawie tych, które już się pojawiały i proszę tylko o sprawdzenie:
Zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład geometryczny z parametrem \(\displaystyle{ p}\). Wyznaczyć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y=\frac{1}{X}}\). Moje rozwiązanie:
Po przeprowadzeniu kilku "symulacji" dochodzę do wniosku, że Y będzie przyjmował następujące wartości z prawdopodobieństwem:
\(\displaystyle{ P(Y=\frac{1}{k})=P(\frac{1}{X}=\frac{1}{k})=P(X=k)=p^k(1-p)^{k-1}}\).
Zatem \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład \(\displaystyle{ (\frac{1}{k},p^k(1-p)^{k-1})}\), gdzie \(\displaystyle{ k=1,2,\dots}\).

Czy to jest dobrze?

[kropka+]

Prawie dobrze.
\(\displaystyle{ P(X=k) = p (1-p)^{k-1}}\) ,czyli bez potęgi \(\displaystyle{ k}\) - tej przy \(\displaystyle{ p}\).

No i lepiej może napisać \(\displaystyle{ P(Y=k) = p (1-p)^{ \frac{1}{k} -1}}\)

[mwrooo]

No i lepiej może napisać \(\displaystyle{ P(Y=k) = p (1-p)^{ \frac{1}{k} -1}}\)

No ale to nie jest tak, że z tego wynika, że \(\displaystyle{ X}\) może przyjmowac wartości ułamkowe? A przecież to nieprawda. No bo mi się wydaje, że Y może byc tylko ułamkami, całkowity jest tylko dla \(\displaystyle{ k=1}\)

[kropka+]

W tym drugim zapisie to \(\displaystyle{ \frac{1}{k} \in N}\). Może faktycznie zostać przy pierwszej postaci.

[mwrooo]

Wielkie dzięki za pomoc