warunkowa wartość oczekiwana, niezależność

[gienia]

X i Y - niezależne zmienne losowe o rozkładzie b(1,p). \(\displaystyle{ Z=I_{X+Y=0}}\) oraz \(\displaystyle{ G=\sigma(Z)}\). Znaleźć \(\displaystyle{ E(X|G)}\) oraz \(\displaystyle{ E(Y|G)}\). Czy te zmienne losowe są niezależne?

Znalazłam \(\displaystyle{ E(X|G)}\). Jest oczywiste, że \(\displaystyle{ E(Y|G)}\) jest taka sama, prawda? Czy coś źle rozumiem?

Nie wiem, jak odpowiedzieć na ostanie pytanie. Jak sprawdzić, czy wartości oczekiwane są zmiennymi niezależnymi?

[Adifek]

Warunkowa wartość oczekiwana jest zmienną losową. Wyznacz jej rozkład.

[gienia]

To może jeszcze najpierw wrócę do \(\displaystyle{ E(X|G)}\)

Mam tak: \(\displaystyle{ G=\sigma(Z) \Rightarrow E(X|G)=E(X|Z)}\).

\(\displaystyle{ Z=0 \Leftrightarrow (X=1 \wedge Y=1) \vee (X=1 \wedge Y=0) \vee (X=0 \wedge Y=1)}\)
\(\displaystyle{ Z=1 \Leftrightarrow X=0 \wedge Y=0}\)

\(\displaystyle{ //(X=1 \wedge Y=1) \vee (X=1 \wedge Y=0) \vee (X=0 \wedge Y=1)=B_1 \vee B_2 \vee B_3=A_1}\)

\(\displaystyle{ //(X=0 \wedge Y=0)=A_2}\)

\(\displaystyle{ E(X|Z)= \frac{1}{P(A_1)} \int_{A_1}^{}XdP+ \frac{1}{P(A_2)} \int_{A_2}^{}XdP=...}\)

\(\displaystyle{ \int_{A_1}^{}XdP=\int_{B_1}^{}dP+\int_{B_2}^{}dP=P(B_1)+P(B_2)=p^2+p(1-p)=p}\)
\(\displaystyle{ \int_{A_2}^{}XdP=0}\)

\(\displaystyle{ E(X|Z)= \frac{1}{1-(1-p)^2} pI_{A_1}+0I_{A_2}}\)

To mam z zajęć. Czy mogę prosić o jakąś wskazówkę, jak wyznaczyć rozkład?

[Adifek]

To ja może skomentuję.

\(\displaystyle{ E(X|Z)= \frac{1}{P(A_1)} \int_{A_1}^{}XdP+ \frac{1}{P(A_2)} \int_{A_2}^{}XdP}\)

Ta linijka jest nieprawdziwa. Z lewej masz zmienną losową, a z prawej sumę dwóch liczb.

\(\displaystyle{ E(X|Z)= \frac{1}{1-(1-p)^2} pI_{A_1}+0I_{A_2}}\)

To jest dobrze i z tego już prawie masz rozkład. Zapiszmy to troszkę inaczej, a sama zrozumiesz:

\(\displaystyle{ E(X|Z)(\omega ) = \begin{cases} \frac{1}{1-(1-p)^2} p, \ \omega \in A_1 \\ 0, \ \omega \in A_2 \end{cases}}\)

Stąd dostajesz rozkład:

\(\displaystyle{ E(X|Z)= \begin{cases} \frac{1}{1-(1-p)^2} p, \ z \ prawd. \ P(A_1) \\ 0, \ z \ prawd. \ P(A_2) \end{cases}}\)

Wystarczy policzyć \(\displaystyle{ P(A_1)}\) oraz \(\displaystyle{ P(A_2)}\) i koniec. Zatem:

\(\displaystyle{ P(A_2) = P( X=0, Y=0) =P(X=0)P(Y=0) = (1-p)^2}\)

\(\displaystyle{ P(A_1)=1-P(A_2) = 1-(1-p)^2}\)

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ E(X|Z)= \begin{cases} \frac{1}{1-(1-p)^2} p, \ z \ prawd. \ 1-(1-p)^2 \\ 0, \ z \ prawd. \ (1-p)^2 \end{cases}}\)

[gienia]

A niezależność jak sprawdzić?

Coś tam trzeba pewnie pomnożyć, tak?
\(\displaystyle{ E(XY|Z)=E(X|Z)E(Y|Z)}\) Coś takiego można sprawdzić? Tylko nie wiem, jak policzyć \(\displaystyle{ E(XY|Z)}\).

[Adifek]

Nie bardzo wiem, co miałby znaczyć tai warunek

Tutaj zmienne losowe przyjmują tylko dwie wartości, więc możesz sprawdzić z definicji czy są niezależne.

[gienia]

Coś takiego jest \(\displaystyle{ EXY = EXEY}\), więc myślałam, że też zadziała :p (a dlaczego nie działa?)

Nie wiem, jak to sprawdzić z definicji. Nie wiem chyba nawet o jaką definicję chodzi.

To znalazłam: \(\displaystyle{ X,Y}\) niezależne \(\displaystyle{ \Rightarrow F_{X,Y}(x,y) = F_X(x)F_Y(y)}\)
Z tego mam skorzystać?
Jak policzyć \(\displaystyle{ F_{X,Y}(x,y)}\)? Bo po prawej będzie po prostu \(\displaystyle{ F_X(x)^2}\), tak?

[Adifek]

To, co napisałaś, to tylko implikację. Jeśli te warunki nie są spełnione, to nie ma niezależności. Ale jeśli są spełnione, to nie wiadomo, czy zmienne są niezależne. Mimo wszystko proponuję skorzystać z definicji niezależności zmiennych losowych:

\(\displaystyle{ X, Y}\) niezależne, gdy \(\displaystyle{ (\forall A \in \sigma (X))(\forall B \in \sigma (Y)) (P(A\cap B)=P(A)P(B))}\)

[gienia]

\(\displaystyle{ A_1, A_2 \in \sigma (X)}\)
\(\displaystyle{ D_1, D_2 \in \sigma (Y)}\)

\(\displaystyle{ (X=1 \wedge Y=1) \vee (X=1 \wedge Y=0) \vee (X=0 \wedge Y=1)=B_1 \vee B_2 \vee B_3=A_1}\)
\(\displaystyle{ (X=0 \wedge Y=0)=A_2}\)

\(\displaystyle{ (X=1 \wedge Y=1) \vee (X=0 \wedge Y=1) \vee (X=1 \wedge Y=0)=C_1 \vee C_2 \vee C_3=D_1}\)
\(\displaystyle{ (X=0 \wedge Y=0)=D_2}\)

\(\displaystyle{ P(A_1 \cap D_1)=P(A_1) \neq P(A_1)P(D_1)}\)
Czyli że nie są niezależne.

Tak byłoby dobrze?

A jakbym to miała sprawdzić, jakby było więcej tych zbiorów w rozbiciu, a zmienne byłyby zależne, czyli musiałabym sprawdzić wszystkie?

[Adifek]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \sigma (\mathbb{E}(X|Z))=\sigma (\mathbb{E}(Y|Z))=\left\{ \emptyset , A_1 , A_2, A_1\cup A_2 (=\Omega )\right\}}\) (piję do tego, że niepotrzebnie drugi raz to samo robisz i do tego, że w pierwszych dwóch linijkach błędnie piszesz \(\displaystyle{ \sigma (X)}\) i \(\displaystyle{ \sigma(Y)}\)).

No ale wniosek jest właściwy. Nie są niezależne.

Co do trudniejszych przypadków: no już dla kilku zbiorków to się robi mordęga. Ale z kolei dla nieprzeliczalnie wielu znowu się upraszcza - jeśli masz zmienne ciągłe, to możesz wtedy sprawdzać ten warunek tylko dla pewnych odcinków - bo odcinki generują sigma-ciało zbiorów borelowskich.