1) Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ {\sigma }^{2}\left({X}_{n} \right)\leq C< \infty}\) oraz współczynnik korelacji \(\displaystyle{ \rho (X _{i},X _{j}) \rightarrow 0}\) dla \(\displaystyle{ \left|i-j \right| \rightarrow \infty}\) to \(\displaystyle{ (X _{n})}\) spełnia SPWL
2)Niech \(\displaystyle{ (X _{n} )}\) bedzie ciagiem zmiennych losowych niezaleznych o jed-
nakowym rozkładzie ze skonczona wariancja. Oznaczamy \(\displaystyle{ Sn = X1+. . .+Xn}\). Pokazac,
ze jesli dla kazdego\(\displaystyle{ x \in R}\) mamy
\(\displaystyle{ P( \frac{S _{n}-ES _{n} }{DS _{n} }<x )=\phi (x)}\), gdzie
\(\displaystyle{ \phi (x)}\)- dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego, to ciąg \(\displaystyle{ (X _{n} )}\) spełnia SPWL
Na wykładzie miałam definicję SPWL w nast postaci
Dla \(\displaystyle{ (X _{n})}\) zachodzi SPWL jeżeli dla pewnego ciągu liczbowego \(\displaystyle{ C _{n}}\),
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X _{i} -C _{n} \rightarrow 0}\) (wg prawdopodobieństwa)
Oraz kryterium Czebyszewa
Jeżeli \(\displaystyle{ X _{n}}\) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych takich, że \(\displaystyle{ EX _{i} =m _{i}}\), \(\displaystyle{ \sigma ^{2} _{i} < \infty}\), oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{n ^{2} } \sum_{i=1}^{n} \sigma ^{2} _{i} \rightarrow 0}\) , to zachodzi SPWL
Jak to pokazać korzystając z tego kryterium?