Prawdopodobieństwo ze zwracaniem

[mar3cki]

Witam.

Ze zbioru liczb {20,21,22,...,34,35} losujemy kolejno 4 liczby ze zwracaniem. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, ze suma tych 4 liczb jest większa od 100?

Na początku myślałem, ze da rade to zrobić w Excelu, ale zajęłoby mi to z 2 dni ciągłego kopiowania liczb od 20 do 35. Kombinacji jest 16*16*16*16 = 65536 także wpisywanie liczb do 65 tysięcy wierszy mija się z celem.

Byłbym wdzięczny za pomoc w rozwiązaniu.

[miodzio1988]

Analitycznego potrzebujesz rozwiązania czy za pomocą komputera?

[mar3cki]

Nie, nie. Tylko analityczne.

[norwimaj]

Oblicz dwa razy splot, to będziesz znał rozkład zmiennej \(\displaystyle{ (X_1+X_2)+(X_3+X_4).}\)

[mar3cki]

Teraz to mnie zagiąłeś, jestem na 4 roku budownictwa, ale o splotach słyszę pierwszy raz. Jeśli wyciągasz takie działa na to zadanie, to w sumie się zastanawiam czy to zadanie da się rozwiązać metodami poznanymi w liceum czy nawet na 1. roku studiów. Jeśli wymaga to dość skomplikowanych obliczeń (m. in. sploty) to czy da radę to zadanie zrobić w Excelu? Jeśli nie, to trudno. Aczkolwiek fajnie byłoby poznać odpowiedź do tego zadania.

[norwimaj]

Myślę, że dasz radę to zrobić w Excelu. Zacznijmy od przeformułowania zadania, żeby było wygodniej. Losujemy \(\displaystyle{ 4}\) razy liczbę ze zbioru \(\displaystyle{ \{0,1,2,\ldots,15\}}\) i liczymy prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest większa od \(\displaystyle{ 20.}\)

Komórki od A16 w dół ponumeruj liczbami naturalnymi zaczynając od \(\displaystyle{ 0}\). (co najmniej do \(\displaystyle{ 20}\))

Następnie w komórce B16 wpisz 1. W komórce C16 wpisz =SUM(B1:B16). Przeciągnij to wyrażenie w dół aż do miejsca, gdzie otrzymasz w wyniku 0. Przeciągnij to wyrażenie do następnej kolumny (tzn. w D16 ma być wpisane =SUM(C1:C16).) i znów zrób to samo. Domyślasz się, co oznaczają liczby otrzymywane w kolejnych kolumnach?

[mar3cki]

Czy domyślam się? Jedyne co wiem, to że liczby w kolejnych kolumnach są sumą liczb w poprzedniej kolumnie, ale za bardzo nie wiem jakie to ma relacje z prawdopodobieństwem.
Tutaj zamieszczam zdjęcie jak wygląda to w arkuszu:

[norwimaj]

Rozważmy pytanie. Na ile sposobów można wybrać wartości \(\displaystyle{ X_1,X_2\in\{0,\ldots,15\}}\) tak, aby suma \(\displaystyle{ X_1+X_2}\) była równa \(\displaystyle{ 17}\)?

Odpowiedź jest w komórce D33. Jak to zostało obliczone? Skoro wartość \(\displaystyle{ X_2}\) jest z przedziału od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 15,}\) a suma jest równa \(\displaystyle{ 17,}\) to \(\displaystyle{ X_1}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ \{17,16,15,\ldots,3,2\}.}\) Pierwsze dwie wartości nie są możliwe (w komórkach C32 i C33 znajdują się zera), pozostałych wartości jest \(\displaystyle{ 14.}\)

Komórka E18 mówi, na ile sposobów można wybrać wartości \(\displaystyle{ X_1,X_2,X_3\in\{0,\ldots,15\}}\) tak, aby \(\displaystyle{ X_1+X_2+X_3=2.}\) Są trzy możliwe wartości dla \(\displaystyle{ X_3}\). Jeśli \(\displaystyle{ X_3=0,}\) to \(\displaystyle{ X_1+X_2=2}\) i liczba takich możliwości jest podana w komórce D18. Jeśli \(\displaystyle{ X_3=1,}\) to \(\displaystyle{ X_1+X_2=1}\) i mamy D17 takich możliwości. Jeśli \(\displaystyle{ X_3=2,}\) to \(\displaystyle{ X_1+X_2=0}\) i mamy D16 takich możliwości. Łącznie mamy SUM(D16:D18), czyli SUM(D3:D18) możliwości.

W kolejnych kolumnach są sumy większej liczby składników.

[mar3cki]

Ok, mniej więcej zrozumiałem już tę formulę, wiem co od czego trzeba odjąć, żeby poznać ilość kombinacji liczb, których suma jest większa powyżej danej liczby np: Na ile sposobów można wybrać wartości \(\displaystyle{ X_1,X_2\in\{0,\ldots,2\}}\) tak, aby suma \(\displaystyle{ X_1+X_2}\) była większa od \(\displaystyle{ 2}\)? To już jest łatwe do rozwiązania.

Ale teraz wracając do głównego zagadnienia, czyli \(\displaystyle{ X\in\{20,21,\ldots,35\}}\). Losujemy \(\displaystyle{ 3}\) liczby ze zwracaniem, a suma \(\displaystyle{ X_1+X_2+X_3>100}\). Czy ilość kombinacji będzie taka sama jak dla Twojego zadania: \(\displaystyle{ X\in\{0,1,\ldots,15\}}\), a suma \(\displaystyle{ X_1+X_2+X_3>5}\)?

Dziękuję za odpowiedź

[norwimaj]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ X_i\in\{20,21,\ldots,35\}.}\) Definiujemy \(\displaystyle{ Y_i=X_i-20.}\) Wtedy \(\displaystyle{ Y_i\in\{0,1,\ldots,15\}.}\) Nierówność

\(\displaystyle{ X_1+X_2+X_3>100}\)

zamienia się na

\(\displaystyle{ (20+Y_1)+(20+Y_2)+(20+Y_3)>100,}\)

czyli

\(\displaystyle{ Y_1+Y_2+Y_3>40.}\)

[mar3cki]

Ok, dziękuję za pomoc. Już zrobiłem Excela dla przypadku z 1 posta w temacie, zmieniając nieco formułkę i wychodzi wszystko idealnie. Kurcze, naprawdę dzięki wielkie