samochody, ludziki i prawdopodobieństwo

[Nekro]

Cześć! Na jutro mam do zrobienia takie dwa zadanka, niestety nie wiem, jak się za nie zabrać.

1. Dwa samochody pokonywały równocześnie trasę 80 km. Jeden jechał przez pierwsze 20 km z
prędkością 60 km/h, a przez następne 60 km - 120 km/h. Drugi jechał ze stałą prędkością 80 km/h. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że (a) w losowo wybranym momencie w trakcie godziny (b) w losowo wybranym
miejscu trasy pierwszy samochód był przed drugim?

2. Osiem osób ponumerowanych od 1 do 10 stanęło w dwóch rzędach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ponad połowie par jest przynajmniej jedna osoba z numerem będącym liczbą pierwszą?

Niestety, nie byłem na tych ćwiczeniach i nie mam pojęcia, jak zrobić te zadania. W pierwszym utkwiłem na pokazaniu, że pierwszy samochód przejechał 20km w 1/3h a następne 60km w 2/3h.

W drugim zaś narysowałem sobie pary i... i nie wiem co dalej.

Pozdrawiam.

[_radek]

1) trzeba się zastanowić po jakim czasie pierwszy samochód wyprzedził drugi, po 20 minutach miał trochę straty, tzn \(\displaystyle{ \frac{1}{3} 20km}\), tą drogę nadrobi po czasie \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3} 20km}{120 \frac{km}{h}-80\frac{km}{h} } = \frac{1}{6}h}\) no więc po 30 minutach pierwszy samochód będzie przed drugim, szukane prawdopodobieństwo to będzie jeden odjąć 30min całkowity czas jazdy drugiego samochodu.
z miejscem analogicznie, po ilu km się minęli, no i to podzielić przez 80 km.

jak czegoś nie rozumiesz to pytaj

2) mamy 4 liczby pierwsze w tym przedziale, oraz 4 pary. Możemy ich dobrać w pary na pierwszą parę możemy dobrać na \(\displaystyle{ {10 \choose 2}}\) sposobów, drugą na \(\displaystyle{ {8 \choose 2}}\)... a więc Twoja omega to \(\displaystyle{ \frac{10! 8! 6! 4!}{2!8!2!6!2!4!2!2!}= \frac{7! \cdot 8 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 5}{2^{5}} = 3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 5}\)..ok?

No a zdarzenia sprzyjające to 4 liczby pierwsze w tym przedziale, więc do 2 możemy dobrać 6 liczb, do 3 -5, do 5 -4 a do 7 -3 liczby, no więc moc tego zbioru to \(\displaystyle{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}\) więc to szukane prawdopodobieństwo, jak się nie pomyliłem to \(\displaystyle{ \frac{2}{7 \cdot 9 \cdot 5 }}\)... coś dziwnie mało...


PS w drugim się pomyliłem, napisałem jakie jest prawdopodobieństwo że w każdej parze będzie taka osoba, jeszcze trzeba sobie dodać prawdopodobieństwo że w trzech parach będzie liczba pierwsza, a w czwartej nie.

[Nekro]

Dziękuję Radku!

Szczerze powiem, że nie do końca rozumiem Twoje rozwiązania.
'Wzór na nadrobienie drogi": \(\displaystyle{ t=\frac{s}{v}}\) , tak?

Piszesz:

prawdopodobieństwo to będzie jeden odjąć 30min całkowity czas jazdy drugiego samochodu.

Nie do końca rozumiem, co miałeś na myśli, trochę dziwnie skonstruowałeś zdanie (absolutnie nie odbieraj tego jako czepialstwa językowego, po prostu nie rozumiem ).

Czy w b) nie wystarczy po prostu podać, że prawdopodobieństwo jest takie samo jak w a)? Czy nie jest?

AD 2:

jeszcze trzeba sobie dodać prawdopodobieństwo że w trzech parach będzie liczba pierwsza, a w czwartej nie.

Czyli dodać \(\displaystyle{ 2*6*4*3}\) ?

Dzięki za pomoc, jeżeli wciąż monitorujesz ten wątek .

[norwimaj]

Osiem osób ponumerowanych od 1 do 10

Co to ma znaczyć?

[Nekro]

Osiem osób ponumerowanych od 1 do 10

Co to ma znaczyć?

No,prawdopodobnie to że każdej osobie mamy przypisać jakąś wartość liczbową z zakresu od 1 do 10. Jakby w drużynie piłkarskiej było 8 osób i miało między siebie rozdysponować 10 koszulek.
Hmmm, to brzmi jakoś bardzo pod kombinację. Czyżby omega miała wynosić {10 choose 8} ?

[norwimaj]

Jakby w drużynie piłkarskiej było 8 osób i miało między siebie rozdysponować 10 koszulek.

Ok.

Hmmm, to brzmi jakoś bardzo pod kombinację. Czyżby omega miała wynosić {10 choose 8} ?

Ale jeśli tylko wybierzesz \(\displaystyle{ 8}\) liczb z \(\displaystyle{ 10,}\) to nadal nie wiesz nic na temat par. Na przykład jeśli wybrałeś liczby \(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6,7,8,}\) to możesz mieć pary: \(\displaystyle{ \{1,2\},\{3,4\},\{5,6\},\{7,8\}}\) albo \(\displaystyle{ \{1,4\},\{2,3\},\{5,7\},\{6,8\}.}\) Jeden z tych rozkładów jest sprzyjający, a drugi nie, więc nie można ich połączyć w jedno zdarzenie elementarne.

Lepiej robić tak jak zaczął _radek. Jedno zdarzenie elementarne mówi, które numery są w pierwszej parze, które w drugiej, itd. Najwygodniej jest o tym myśleć tak, że mamy pięć par numerów, w tym jedna "nieobecna". Mamy więc

\(\displaystyle{ |\Omega|=\binom{10}2\binom82\binom62\binom42.}\)

Zdarzenie sprzyjające możemy podzielić na dwa przypadki. Jeśli każda liczba pierwsza jest w innej parze, to poszczególne liczby pierwsze możemy przyporządkować do par na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów. Następnie każdej z liczb pierwszych dobieramy liczbę niepierwszą na \(\displaystyle{ 6\cdot5\cdot4\cdot3}\) sposobów. Pozostałe dwie liczby tworzą jedną parę.

W drugim przypadku dwie liczby pierwsze są w jednej parze. Wybieramy jedną z czterech "obecnych" par, w której nie będzie żadnych liczb pierwszych. W "nieobecnej" parze też nie będzie liczb pierwszych. Wybieramy jedną z pozostałych trzech obecnych par, w której będą dwie liczby pierwsze. Wybieramy dwie liczby niepierwsze do "nieobecnej" pary, dwie liczby niepierwsze do wybranej obecnej pary i dwie liczby pierwsze do pary, w której miały być dwie liczby pierwsze. Zostały jeszcze dwie niezapełnione pary. Do pierwszej z nich wybieramy jedną z dwóch pozostałych liczb niepierwszych i jedną z dwóch pozostałych liczb pierwszych. Do ostatniej wolnej pary wkładamy ostatnie dwie liczby.

Teraz tylko trzeba ten opis zamienić na konkretne liczby. Powodzenia!