Chciałbym prosić Was o pomoc w zrozumieniu poniższego zadania oraz ocenę proponowego rozwiązania (czy podążyłem dobrym tropem).
\(\displaystyle{ P(C)}\) nie jest znane z treści zadania, ale można założyć, że każdy z podanych powodów miał tyle samo procent szans na spowodowanie katastrofy, czyli:W przesłuchaniu dotyczącym katastrofy budowlanej prokuratora rozważa trzy hipotezy, wzajemnie wykluczające się i wyczerpujące wszystkie możliwości:
- \(\displaystyle{ A}\) - wykonano wadliwy projekt budynku;
- \(\displaystyle{ B}\) - wadliwy był proces budowy;
- \(\displaystyle{ C}\) - niewłaściwie użytkowano budynek.
Bada się następujące możliwe typy obserwacji (faktów):
- \(\displaystyle{ Y_{1A}}\), \(\displaystyle{ Y_{1B}}\), \(\displaystyle{ Y_{1C}}\): ekspertyzy dotyczące \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) lub \(\displaystyle{ C}\) wskazują na ich uchybienia formalne/jakościowe;
- \(\displaystyle{ Y_{2A}}\), \(\displaystyle{ Y _{2B}}\), \(\displaystyle{ Y_{2C}}\) : stosowano znaczne oszczędności ilościowe (czasu i środków) w procedurach dotyczących kroków \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\),
- \(\displaystyle{ Y_{3A}}\), \(\displaystyle{ Y_{3B}}\), \(\displaystyle{ Y_{3C}}\) : świadkowie podają opisy katastrofy nie pasujące do ewentualnych błędów w procesie \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) lub \(\displaystyle{ C}\).
Założono prawdopodobieństwa zależności pomiędzy faktami a hipotezami jako:
- \(\displaystyle{ P(Y1x|x, k ) = 0.7}\) ;\(\displaystyle{ P(Y1x | \neg x, k )= 0.4}\),
- \(\displaystyle{ P(Y2x|x, k) = 0.6}\) ; \(\displaystyle{ P(Y2x | \neg x, k)= 0.4}\);
- \(\displaystyle{ P(Y3x|x, k) = 0.2}\) ; \(\displaystyle{ P(Y3x |\neg x, k) = 0.7}\) .
gdzie: \(\displaystyle{ x \in \left\{ {A, B, C}\right\}}\), zaś k oznacza \(\displaystyle{ K=true}\), czyli to, że zaszła „katastrofa budowlana”.
Załóżmy, że wyniku śledztwa ustalono by alternatywne fakty:
1) \(\displaystyle{ (Y2A = true)}\) i \(\displaystyle{ (Y2B = true)}\) , lub
2) \(\displaystyle{ (Y3C = true)}\),
Dla każdej z 2 powyższych obserwacji wyznaczyć prawdopodobieństwa warunkowe hipotez: \(\displaystyle{ P(A=true|fakty)}\), \(\displaystyle{ P(B=true|fakty)}\) i \(\displaystyle{ P(C=true|fakty)}\).
\(\displaystyle{ P(C) = 0.33}\)
1. \(\displaystyle{ P(C|Y _{2A}, Y _{2B})}\)
Wzór użyty do obliczenia prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ P(C|Y _{2A}, Y _{2B}) = \frac{P(Y _{2A}, Y _{2B}| C) \cdot P(C)}{P(Y _{2A}, Y _{2B})} = \alpha \cdot P(Y_{2A}|C) \cdot P(Y_{2B}|C) \cdot P(C)}\)
Do obliczenia Alfa korzystam następującej zależności:
\(\displaystyle{ P(C|Y _{2A}, Y _{2B}) + P(\neg C|Y _{2A}, Y _{2B} = 1}\)
\(\displaystyle{ P(C|Y _{2A}, Y _{2B}) = \alpha \cdot 0.33 \cdot 0.6 \cdot 0.6 \approx 0.19}\)
\(\displaystyle{ P(\neg C|Y _{2A}, Y _{2B} = \alpha \cdot 0.66 \cdot 0.6 \cdot 0.6 \approx 0.24}\)
\(\displaystyle{ \alpha = 1/0.43 \approx 2.33}\)
Obliczam prawdopodobienstwo:
\(\displaystyle{ P(C|Y _{2A}, Y _{2B}) = 2.33 \cdot 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.33 = 0.27}\)
2. \(\displaystyle{ P(C|Y _{3C})}\)
Wzór użyty do obliczenia prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ P(C|Y_{3C}) = \frac{P(Y_{3C} | C) \cdot P(C)}{P(Y_{3C})} = \alpha \cdot P(Y_{3C}|C) \cdot P(C)}\)
Do obliczenia Alfa korzystam następującej zależności:
\(\displaystyle{ P(C|Y_{3C}) + P(\neg C|Y_{3C}) = 1}\)
\(\displaystyle{ P(C|Y{3C}) = \alpha \cdot 0.7 \cdot 0.33 = 0.231}\)
\(\displaystyle{ P( \neg C|Y{3C}) = \alpha \cdot 0.2 \cdot 0.66 = 0.132}\)
\(\displaystyle{ \alpha = 1/0.363 = 2.75}\)
Teraz mogę obliczyć prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ P(C|Y_{3C}) = 2.75 \cdot 0.2 \cdot 0.33 \approx 0.18}\)