wartosc oczekiwana i wariancja

[pawel0xx]

Cześć, mam pewien problem z zadaniem.
Oto jest treść:
Dwuwymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma gęstość prawdpododobieństwa daną wzorem:
\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{1}{2\pi} e^{-\frac{(x^2+y^2)}{2}}}\)
Znaleźć \(\displaystyle{ ER, var(R)}\) odległości \(\displaystyle{ R}\) punktu \(\displaystyle{ (X,Y)}\) od początku układu współrzędnych.

Ja skorzystałem z tego, że jeśli mamy rozkład wektora, \(\displaystyle{ (X,Y)}\) oraz mamy funkję całkowalną \(\displaystyle{ h: \re^2 \to \re}\) to dla \(\displaystyle{ Z=h(x,y)}\)
\(\displaystyle{ EZ= \int \int h(x,y)f(x,y)dxdy}\)

Jednak korzystając z tego, gdzie \(\displaystyle{ Z=R=h:= \sqrt {x^2+y^2}}\) dochodzę do dość skomplikowanej całki
\(\displaystyle{ ER= \int \int \sqrt {x^2+y^2}\frac{1}{2\pi} e^{-\frac{(x^2+y^2)}{2}} dxdy}\)


Próbowałem to jeszcze jakoś rozbić:
\(\displaystyle{ ER=\left \int\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}} \{ \right \int \sqrt {x^2+y^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx \}dy}\)


Czy może ktoś pomóc? Czy moje przejście w ogóle miało sens?

[rafalpw]

\(\displaystyle{ ER= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{x^2+y^2} \frac{1}{2 \pi} e^{- \frac{x^2+y^2}{2} } \mbox{d}x \mbox{d}y}\). Przechodząc na współrzędne biegunowe dostajemy:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2 \pi} r^2 e^{- \frac{r^2}{2} } \mbox{d}\varphi \mbox{d}r = \int_{0}^{\infty} r^2 e^{- \frac{r^2}{2} } \mbox{d}r}\)

[pawel0xx]

Dzieki, całkowicie zapomniałem o zmiennych biegunowych!