Problem z prawdopodobieństwem

[Lasagne]

Rzucamy jednokrotnie kostką.
Zmienna losowa X przyjmuje wartość 0, gdy wypadła liczba parzysta i 1, gdy nieparzysta.
Zmienna losowa Y przyjmuje wartość równą liczby wypadniętych oczek.

Ile wynosi \(\displaystyle{ P(X=1|Y=1)}\)?
Szukamy prawdopodobieństwa, że jednocześnie wypadła liczba nieparzysta i wypadła liczba 1. Żeby wypadła nieparzysta, mogą być 3 możliwości, więc moim zdaniem \(\displaystyle{ P(X=1\cap Y=1)=\frac{1}{3}}\).
\(\displaystyle{ P(Y=1)=\frac{1}{6}}\).

Po podstawieniu do wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe wychodzi \(\displaystyle{ P(X=1|Y=1)=\frac{1/3}{1/6}=2}\).
Jak powszechnie wiadomo, prawdopodobieństwo nie może być większe od 1, więc gdzie błąd?

[Adifek]

Jest tylko jedna możliwość, by była nieparzysta liczba oczek i wypadła jedynka
\(\displaystyle{ P(X=1\cap Y=1)=\frac{1}{6}}\)

Stąd \(\displaystyle{ P(X=1|Y=1)=1}\) (co z resztą jest oczywiste, tak samo jak np. \(\displaystyle{ P(X=1|Y=2)=0}\)).

[Lasagne]

Ogólnie to mam wyliczyć \(\displaystyle{ E[X| \sigma(Y)]}\).
Jak mam już policzone wszystkie prawdopodobieństwa, to wtedy:
\(\displaystyle{ E[X| Y=1]=0\cdot P(X=0|Y=1)+1\cdot P(X=1|Y=1)=0+0=0 \\
E[X|Y=2]=0\cdot P(X=0|Y=2)+1\cdot P(X=1|Y=2)=0+1=1 \\
... ...}\)

Ostatecznie wyjdzie więc:
\(\displaystyle{ E[X|\sigma(Y)]=\begin{cases} 0, \ \omega \in\{1,3,5\} \\ 1, \omega \in\{2,4,6\}\end{cases}}\)

Czy to jest poprawny wynik?
Pozdrawiam

[Adifek]

Nie jest. W szczególności nawet dobrze nie przepisujesz tego, co wyżej napisałem...