warunkowa wartość oczekiwana, n orłów pod rząd

[gienia]

Proszę o pomoc w obliczeniu wartości oczekiwanej liczby rzutów monetą aż do otrzymania n orłów pod rząd. Orzeł w pojedynczym rzucie wypada z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0<p \le 1}\).
Mam skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ EX= \sum_{i \in I}^{} E(X|A_{i})P(A_{i})}\).

Mam niby rozwiązanie tego zadania, ale go nie rozumiem, dlatego chciałabym od początku je zrobić.

Zaczynam tak: X-wymagana liczba rzutów, \(\displaystyle{ Y_{i}=1}\) gdy w \(\displaystyle{ i}\)-tym rzucie wypadł orzeł, \(\displaystyle{ Y_{i}=0}\) gdy w \(\displaystyle{ i}\)-tym rzucie wypadła reszka.

\(\displaystyle{ X=min\{k \ge n: Y_{k-n+1}=1,...,Y_{k}=1\}}\).

Dalej już nie wiem, co się dzieje.

[norwimaj]

Dalej pewnie rozważysz przypadki, jak mogą wyglądać pierwsze rzuty:

\(\displaystyle{ \overbrace{OOO\ldots OO}^n,\\
OOO\ldots OR,\\
OOO\ldots R,\\
\ldots\\
OR,\\
R.}\)

[gienia]

Co mi to daje? Ja nie chcę pierwszej reszki, tylko n orłów pod rząd. Jak z tego dalej miałabym iść? W rozwiązaniu, które mam też tak jest, ale nie wiem dlaczego i co dalej.

[norwimaj]

W pierwszym przypadku już po \(\displaystyle{ n}\) rzutach otrzymałaś sukces, więc warunkowa wartość oczekiwana jest w tym wypadku równa \(\displaystyle{ n}\).

W pozostałych przypadkach po wyrzuceniu reszki gra zaczyna się od nowa: \(\displaystyle{ E(X|O^kR)=k+1+E(X).}\)

[gienia]

Dalej nie wiem co dalej. Tzn. jak mam obliczyć \(\displaystyle{ E(X|O^kR)}\)?

[norwimaj]

\(\displaystyle{ E(X|O^kR)=k+1+E(X)}\) dla \(\displaystyle{ k<n,}\)

\(\displaystyle{ E(X|O^n)=n.}\)

[gienia]

Czy to ma być coś takiego w takim razie:

\(\displaystyle{ EX= \sum_{k=0}^{n-1} E(X|O^kR)P(O^kR)=\sum_{k=0}^{n-1}(1+k+EX)p^k(1-p)+np^n}\)

?

[norwimaj]

Lewa i prawa strona, jak na moje oko, się zgadzają. W środku czegoś brakuje:

\(\displaystyle{ EX= \sum_{k=0}^{n-1} E(X|O^kR)P(O^kR){\red + E(X|O^n)P(O^n)}=\\\\\sum_{k=0}^{n-1}(1+k+EX)p^k(1-p)+np^n.}\)

[gienia]

A tak, zgubiło się.

\(\displaystyle{ EX=\sum_{k=0}^{n-1}(1+k+EX)p^k(1-p)+np^n=(1-p)[\sum_{k=0}^{n-1}p^k(1+EX)+\sum_{k=0}^{n-1}kp^k]=(1-p)[(1+EX)( \frac{1}{1-p}+p^n)+\sum_{k=0}^{n-1}kp^k]}\)

Nie umiem tej ostatniej sumy policzyć.

[norwimaj]

Jeden ze sposobów, to zauważenie, że \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}kx^{k-1}}\) jest pochodną pewnej znanej funkcji.

Inny sposób, mniej uniwersalny, polega na przegrupowaniu wyrazów (kolumny zamieniamy na wiersze):

\(\displaystyle{ \begin{array}{l}\displaystyle
p+\\
(p^2+p^2)+\\
(p^3+p^3+p^3)+\\
\ldots+\\
(p^{n-1}+p^{n-1}+\ldots+p^{n-1})
\end{array}
\quad=\quad
\begin{array}{l}\displaystyle
(p+p^2+p^3+\ldots+p^{n-1})+\\
(p^2+p^3+\ldots+p^{n-1})+\\
(p^3+\ldots+p^{n-1})+\\
\ldots+\\
p^{n-1}.
\end{array}}\)

[gienia]

To będzie \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}kp^k=p\sum_{k=0}^{n-1}kp^{k-1}=p[ (\frac{1}{1-p})'-np^n]=p( \frac{1}{(1-p)^2}-np^n)}\) ?

[norwimaj]

Gieniu, tak nie może być! Poprawnie jest \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}p^k=\frac{1-p^n}{1-p}}\). We wcześniejszych rachunkach też masz ten sam błąd.

[gienia]

Aaa no tak.
Jest od 0 do n-1, to powinno być \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}p^k=\frac{1-p^n}{1-p}+1-p^n}\), tak?

[norwimaj]

Nie, tak jak napisałem. Na przykład dla \(\displaystyle{ n=2}\):

\(\displaystyle{ 1+p=\frac{1-p^2}{1-p}.}\)

[gienia]

Ok, to jeszcze raz.

\(\displaystyle{ EX=\sum_{k=0}^{n-1}(1+k+EX)p^k(1-p)+np^n=(1-p)(\sum_{k=0}^{n-1}p^k+\sum_{k=0}^{n-1}kp^k+EX\sum_{k=0}^{n-1}p^k)+np^n=(1-p)[ \frac{1-p^n}{1-p} +p\sum_{k=0}^{n-1}(p^k)'+EX \frac{1-p^n}{1-p}]+np^n=(1-p)[ \frac{1-p^n}{1-p} (1+EX)+p( \frac{1-p^n}{1-p})']+np^n=(1-p^n)(1+EX)+p \frac{1-np^{n-1}+(n-1)p^n}{1-p} +np^n}\)

Chyba znów coś nie tak, bo dużo tych znaczków wyszło.