Identyczne kule w urnach

[bitel1993]

Rozmieszczono w sposób losowy 10 identycznych kul w pięciu szufladach. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w ostatniej szufladzie znajdą się 4 kule.
Proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania.

\(\displaystyle{ \frac{ {6+4-1 \choose 4-1} }{ {10+5-1 \choose 5-1} } = \frac{ {9 \choose 3} }{ {14 \choose 4} } = \frac{12}{143}}\)

[a4karo]

To nie jest rozwiązanie. To, co napisałeś to ciąg liczb i znaczków i komunikat do czytelnika: zgadnij, co przez to chciałem powiedzieć.
Rozwiązanie to rozumowanie opisane po polsku z pomocą symboli matematycznych.

[bitel1993]

No dobrze więc spróbuje opisać co miałem na myśli pisząc rozwiązanie.

Licznik, czyli zdarzenie sprzyjające mamy umieścić 10 identycznych kul w 5 szufladach, przy założeniu, że w ostatniej szufladzie znajdą się dokładnie 4 kule, utożsamiam to z tym że mam zabraną jedną szufladę w której z góry wiadomo że są 4 kule, więc zostaje mi rozmieszczenie 6 kul w 4 identycznych szufladach, tu korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\), gdzie n to ilość kul nierozróżnialnych a k liczba szuflad, co daje mi licznik \(\displaystyle{ {6+4-1 \choose 4-1}}\)
Mianownik to wszystkie możliwe rozwiązania tu znowu korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\), gdzie n to ilość kul nierozróżnialnych a k liczba szuflad, co daje mi mianownik wyrażenia \(\displaystyle{ {10+5-1 \choose 5-1}}\)

[norwimaj]

Na jakiej podstawie twierdzisz, że możesz tu zastosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa?

[bitel1993]

Zadanie jest z listy zadań dotyczących klasycznej definicji, prawdopodobieństwa, a co jest złego w tym rozwiązaniu?

[norwimaj]

Twoje rozwiązanie jest tak samo dobre, jak poniższe:

W ostatniej szufladzie może być \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\) lub \(\displaystyle{ 10}\) kul. Przyjmijmy więc \(\displaystyle{ \Omega=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}.}\) Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A=\{4\}:}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac1{11}.}\)

[bitel1993]

Wyniki są różne.

[norwimaj]

Jest jeszcze takie proste rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \Omega = \{\text{,,będą dokładnie 4 kule w ostatniej urnie''}, \text{,,liczba kul w ostatniej urnie będzie różna od 4''}\},}\)

\(\displaystyle{ A=\{\text{,,będą dokładnie 4 kule w ostatniej urnie''}\}.}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac12.}\)

[bitel1993]

Może zamiast pisać te rzeczy spróbujesz dać jakąś wskazówkę do rozwiązania tego zadania, napiszesz co jest błędnego w moim myśleniu.

[mat_61]

Norwimaj, to co napisałeś ma się nijak do treści zadania.

1. Przyjęty model powinien odzwierciedlać konkretne, opisane w treści zadania, doświadczenie. Powiem, że żaden z Twoich modeli tego warunku nie spełnia.

2. Żeby zastosować rozwiązanie oparte na klasycznej definicji p-stwa, to wszystkie zdarzenia elementarne muszą być jednakowo prawdopodobne. Tego warunku Twoje modele także nie spełniają.

[norwimaj]

Potencjalne źródło błędów już wskazałem:

Na jakiej podstawie twierdzisz, że możesz tu zastosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa?

Czy uczono Cię, kiedy można stosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa, a kiedy nie? Jeśli nie, patrz punkt 2. w odpowiedzi mat_61.

1. Przyjęty model powinien odzwierciedlać konkretne, opisane w treści zadania, doświadczenie. Powiem, że żaden z Twoich modeli tego warunku nie spełnia.

Akurat co do tego nie masz racji. Model nie musi odzwierciedlać wszystkich szczegółów doświadczenia (czy losuję prawą ręką, czy lewą).

[bitel1993]

Model klasyczny zdarzenia stosujemy, wtedy gdy zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Ale dalej nie rozumiem co w takim razie zastosować w tym zadaniu, by je rozwiązać.

[mat_61]

Norwimaj, nie napisałem, że ma odzwierciedlać wszystkie szczegóły tylko to co jest w doświadczeniu istotne.

[norwimaj]

Model klasyczny zdarzenia stosujemy, wtedy gdy zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Ale dalej nie rozumiem co w takim razie zastosować w tym zadaniu, by je rozwiązać.

To teraz pojawia się pytanie, co to znaczy, że kule są rozmieszczone w sposób "losowy". Zazwyczaj rozumie się to tak: biorę pierwszą kulę i wrzucam ją do którejś z szuflad, przy czym każda szuflada jest równo prawdopodobna. Następnie biorę drugą kulę i niezależnie od poprzedniego wyniku, znowu wrzucam ją do którejś z szuflad z równymi prawdopodobieństwami, itd. Przy takim rozumieniu można zastosować schemat klasyczny, przyjmując za \(\displaystyle{ \Omega}\) zbiór ciągów dziesięcioelementowych o wartościach w zbiorze pięcioelementowym (albo zbiór funkcji ze zbioru kul w zbiór urn). Jeśli tego Ci nie powiedziano na zajęciach, to nie wiem, jak mogą wymagać robienia takich zadań.

Norwimaj, nie napisałem, że ma odzwierciedlać wszystkie szczegóły tylko to co jest w doświadczeniu istotne.

Czyli co w powyższych rozwiązaniach jest złego, pomijając punkt 2?

[mat_61]

Czyli co w powyższych rozwiązaniach jest złego, pomijając punkt 2?

Podchwytliwe pytanie

Pisząc swoją odpowiedź miałem na myśli całość rozwiązania. Skoro korzystasz ze wzoru na p-stwo klasyczne, to model musi spełniać warunki dla tego p-stwa.

Dlaczego np. odpowiedź \(\displaystyle{ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac1{2}}\) jest niepoprawna? Dlatego, że jest zły model.

Chyba nie zwróciłem uwagi na intencje Twojej odpowiedzi.