Trzej strzelcy strzelają do butelki

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
bitel1993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 29 maja 2013, o 01:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 15 razy

Trzej strzelcy strzelają do butelki

Post autor: bitel1993 »

Trzej strzelcy strzelają do butelki. Butelka zostaje zbita jedną kulą. Jakie jest
prawdopodobieństwo, ze zbił ją pierwszy ze strzelców, skoro trafiają oni prawdopodobieństwami odpowiednio: 0.3 , 0.8 , 0.4 ?
Zadanie wydaje się, proste jednak kompletnie nie wiem jak się za nie zabrać, od czego zacząć?
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3050
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 816 razy

Trzej strzelcy strzelają do butelki

Post autor: loitzl9006 »

Zaczynamy od wyznaczenia prawdopodobieństw tego, że nie trafią:
pierwszy: \(\displaystyle{ 1-0.3=0.7}\)
drugi: \(\displaystyle{ 1-0.8=0.2}\)
trzeci: \(\displaystyle{ 1-0.4=0.6}\)

Z treści zadania - tylko jeden trafił - więc rozważamy możliwe przypadki i liczymy prawdopodobieństwa kazdego z tych przypadków:
1-wszy trafił, 2-gi nie trafił, 3-ci nie trafił; \(\displaystyle{ P_1=0.3\cdot0.2\cdot0.6=0.036}\)
1-wszy nie trafił, 2-gi trafił, 3-ci nie trafił; \(\displaystyle{ P_2=0.7\cdot0.8\cdot0.6=0.336}\)
1-wszy nie trafił, 2-gi nie trafił, 3-ci trafił. \(\displaystyle{ P_3=0.7\cdot0.2\cdot0.4=0.056}\)

Zatem \(\displaystyle{ P_1+P_2+P_3=\Omega}\) (wszystkie możliwe zdarzenia), zaś \(\displaystyle{ P_1=A}\) (zdarzenia sprzyjające)

Szukane prawdopodobieństwo liczymy dzieląc \(\displaystyle{ A}\) przez \(\displaystyle{ \Omega}\) czyli
\(\displaystyle{ P=\frac A\Omega=\frac{P_1}{P_1+P_2+P_3}=\frac{0.036}{0.036+0.336+0.056}=\frac{0.036}{0.428}\approx\boxed{0.084}}\)
ODPOWIEDZ