Gdzie jest błąd w rozwiązaniu ?

[matinf]

Cześć!

Mamy takie zadanie:
Były wybory na przewodniczącego. Kandydowali Jaś i Małgosia, Jaś dostał \(\displaystyle{ n}\) głosów, zaś Małgosia \(\displaystyle{ m}\) głosów. Przy czym wiemy, że \(\displaystyle{ n>m}\).
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że Jaś cały czas wygrywał ? Tzn chodzi o to, że wyniki są wyjmowane po jednym i wtedy jakby cały czas się podlicza ilość dotychczas wyciagniętych głosów.
W odpowiedziach jest:
\(\displaystyle{ 1-\frac{{n+m-1\choose n}}{{n+m\choose n}}}\)
Widać, że to zdarzenie przeciwne, a więc szansa na to, że Małgosia choć w jednym momencie, albo remisowała, albo wygrywała ilością głosów. O ile mianownik jest w porządku (dla każdego ciągu wybieramy te miejsca, na których jaś miał wyciągane głosy) to licznik nie jest w porządku i zaraz pokażę Wam przykład.
\(\displaystyle{ n=3, m = 2}\)
Wg odpowiedzi takich sytuacji jest \(\displaystyle{ 12}\).
Ja się pokuszę o wypisanie wszystkich:
\(\displaystyle{ (m,m,j,j,j)\\ (m,j,m,j,j)\\ (m,j,j,m,j)\\ (m,j,j,j,m)\\ (j,m,j,j,m)\\ (j,m,j,j,m)\\ (j,m,m,j,j)\\ (j,m,j,m,j)\\ (j,j,m,m,j)}\)
A tego jest osiem, a nie dwanaście. Co jest grane ?

[Qń]

Wg odpowiedzi takich sytuacji jest \(\displaystyle{ 12}\)

Skąd taki wniosek?

Q.

[norwimaj]

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że Jaś cały czas wygrywał ?

Zero, bo na początku na pewno był remis. Chyba że chwili startowej nie uwzględniamy.

Wg odpowiedzi takich sytuacji jest \(\displaystyle{ 12}\).

Nie. \(\displaystyle{ \binom{n+m-1}{n}=\binom43=4}\), a wszystkich możliwości jest \(\displaystyle{ 10}\).

Ja się pokuszę o wypisanie wszystkich:
\(\displaystyle{ (m,m,j,j,j)\\ (m,j,m,j,j)\\ (m,j,j,m,j)\\ (m,j,j,j,m)\\ (j,m,j,j,m)\\ (j,m,j,j,m)\\ (j,m,m,j,j)\\ (j,m,j,m,j)\\ (j,j,m,m,j)}\)

Szybciej jest wypisać te, gdzie Jaś wygrywał.
\(\displaystyle{ (j,j,m,j,m),\\(j,j,j,m,m).}\)

Co jest grane ?

Pewnie to samo, co tu. Nie wiem, co to za książka, ale może lepiej zwróć ją już do biblioteki.

[matinf]

Czego uważasz, że tych możliwości jest \(\displaystyle{ 10}\) ?

To jak mam to zadanie rozwiąząć ? Bo w takim razie w książce jest błąd.

[norwimaj]

Czego uważasz, że tych możliwości jest \(\displaystyle{ 10}\) ?

\(\displaystyle{ \binom{3+2}3=10}\)

To jak mam to zadanie rozwiąząć ?

Ja bym ograniczył się do podania wzoru rekurencyjnego na liczbę sytuacji, w których Jaś stale wygrywa (pomijając chwilę startową). Nie sądzę, żeby znalezienie jawnego wzoru było łatwym zadaniem.

[matinf]

Ok, liczysz to jakoś tam. Zobacz, ja rozpisałem sytuacje, kiedy to Malgosia, albo wygrywa, albo remisuje. jest ich osiem.
Gdzie są pozostałe dwie -takie że Małgosia albo wygrywa, albo remisuje ?

[norwimaj]

Ale mnie chodziło o to, że \(\displaystyle{ 10}\) jest wszystkich sytuacji. W pozostałych dwóch cały czas Jaś wygrywa.