warunkowa wartość oczekiwana

[Kasiab92]

Niech \(\displaystyle{ \Omega=[0,1]}\), znaleźć \(\displaystyle{ E(X|Y)}\), gdy \(\displaystyle{ X(\omega)=\omega^2}\) oraz \(\displaystyle{ Y(\omega)=
\begin{cases} 2 &\text{dla } \omega \in [0, \frac{1}{2}) \\ x^2 &\text{dla } \omega \in [ \frac{1}{2},1] \end{cases}}\)

[bartek118]

\(\displaystyle{ \mathbb{E} (X|Y) = \int_\mathbb{R} x \cdot g_{X|Y}(x,Y) \mathrm{d}x,}\)
gdzie \(\displaystyle{ g_{X|Y}}\) jest gęstością warunkową, tzn.
\(\displaystyle{ g_{X|Y} (x,y) = \chi_{ \{g_Y (y) = 0\} } (y) \frac{g(x,y)}{g_Y (y)},}\)
gdzie \(\displaystyle{ g(x,y)}\) jest gęstością rozkładu łącznego \(\displaystyle{ (X,Y)}\), zaś \(\displaystyle{ g_Y (y)}\) gęstością rozkładu \(\displaystyle{ Y}\).

[Kasiab92]

\(\displaystyle{ \mathbb{E} (X|Y) = \int_\mathbb{R} x \cdot g_{X|Y}(x,Y) \mathrm{d}x,}\)
gdzie \(\displaystyle{ g_{X|Y}}\) jest gęstością warunkową, tzn.
\(\displaystyle{ g_{X|Y} (x,y) = \chi_{ \{g_Y (y) = 0\} } (y) \frac{g(x,y)}{g_Y (y)},}\)
gdzie \(\displaystyle{ g(x,y)}\) jest gęstością rozkładu łącznego \(\displaystyle{ (X,Y)}\), zaś \(\displaystyle{ g_Y (y)}\) gęstością rozkładu \(\displaystyle{ Y}\).

tak to znam, skąd jednak mam wziąć gęstość łączną? Zmienne nie są niezależne