Martyngały

[leszczu450]

Cześć : )

Czy ktoś z Was jest w stanie wyjaśnić mi, co mówią w praktyce warunki podane w definicji martyngału ?

Przypomnę:

Niech \(\displaystyle{ \FF=\left\{ \mathcal{F}_n\right\}_{0 \le n \le N}}\) będzie pewną filtracją. Mówimy, że proces stochastyczny \(\displaystyle{ X= \left\{ X_n\right\}_{0 \le n \le N}}\) jest martyngałem względem filtracji \(\displaystyle{ \FF}\) jeżeli:

(1) \(\displaystyle{ X}\) jest \(\displaystyle{ \FF}\)-adaptowalny
(2) \(\displaystyle{ \EE\left| X_n\right| < \infty}\) dla \(\displaystyle{ n=0 \ldots N}\)
(3) \(\displaystyle{ \EE\left( X_n | \mathcal{F}_{n-1}\right)= X_{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n=0 \ldots N}\)

Zdaję sobie sprawę z tego, ze warunki (1) i (2) są warunkami formalnymi- tak żeby wszystko dało się policzyć. Najbardziej interesuje mnie warunek (3). Co to znaczy tak naprawdę ?

Z góry dziękuję za pomoc.

[Adifek]

1. Masz literówkę w temacie.
2. Nie ten dział.
3. Trzeci warunek oznacza, że martyngał oddaje ideę gry sprawiedliwej. To znaczy wartość oczekiwana procesu po kolejnym kroku jest równa wartości w chwili obecnej - czyli może tak samo wzrosnąć, co zmaleć.

[leszczu450]

Adifek, dziękuję : ) Nazwa tematu poprawiona, temat przeniesiony.

Co do warunku numer (3). Co masz na myśli mówiąc "po kolejnym kroku" ? I co w tym przypadku oznacza warunkowanie względem \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{n-1}}\) ? Dlaczego nie względem \(\displaystyle{ \mathcal{F}_n}\) ?

[mm34639]

Pod warunkiem \(\displaystyle{ F_{n-1}}\) znaczy mniej-więcej , że jesteśmy w chwili \(\displaystyle{ n-1}\), wiemy jaką wartość przyjęła zmienna \(\displaystyle{ X_{n-1}}\) (a także \(\displaystyle{ X_1, X_2 \ldots X_{n-2}}\)) Nie wiemy jeszcze jakie będzie \(\displaystyle{ X_n}\) (to zmienna losowa), ale wiemy, że jej wartość oczekiwana to (znane nam już) \(\displaystyle{ X_{n-1}}\). Najprostszy przykład i najczęściej chyba przywoływany - wyobraźmy sobie taką grę - na początku mamy \(\displaystyle{ X_0}\) złotych, rzucamy monetą, jeśli orzeł to wygrywamy złotówkę a jeśli reszka to złotówkę przegrywamy. \(\displaystyle{ X_n}\) to stan naszego konta po \(\displaystyle{ n}\) rzutach. Więc jeśli znamy \(\displaystyle{ X_0}\) i wyniki wszystkich rzutów do chwili \(\displaystyle{ n-1}\), to wartość oczekiwana stanu konta w chwili \(\displaystyle{ n}\) zależy bezpośrednio tylko od stanu konta w chwili \(\displaystyle{ n-1}\) (a nie np. od kolejności wygrywania/przegrywania w dotychczasowych rzutów), no i ta wartość oczekiwana jest równa temu stanowi konta, tzn \(\displaystyle{ \mathbb{E}X_n=0.5 \cdot (X_{n-1}+1) + 0.5 ( \cdot X_{n-1}-1)=X_{n-1}}\). W tym sensie gra jest sprawiedliwa, że średnio w następnym kroku masz tyle co w poprzednim.

[leszczu450]

mm34639, tutaj \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{n-1}}\) oznacza naszą całkowitą wiedzę do momentu \(\displaystyle{ n-1}\) zgadza się ?

Więc warunek (3) mówi nam, co się stanie ze zmienną \(\displaystyle{ X_n}\) gdy jesteśmy już po tych \(\displaystyle{ n-1}\) próbach(doświadczeniach). I okazuje się, że po tych \(\displaystyle{ n-1}\) próbach to czego się spodziewamy w żaden sposób nie różni się od tego co działo się wcześniej, tak ? Nasze szanse na wygranie, przegranie nie wzrastają ani nie maleją. Dobrze mówię ?

[mm34639]

Nasze szanse na wygranie, przegranie nie wzrastają ani nie maleją. Dobrze mówię ?

To trochę nieprecyzyjne. Bo co znaczy - "nasze szanse na wygranie/przegranie"? Może być tak, że w następnej turze tracisz milion z bardzo małym prawdopodobieństwem albo z dużym p-stwem wygrywasz złotówkę. Jeżeli dobierzesz te prawdopodobieństwa by wartość oczekiwana spełniala (3), to dalej jest to martyngał, a czy możemy powiedzieć, że mamy równe szanse na wygraną i przegraną?

Nie zakładaliśmy na razie, że mamy jakiś cel - np. w opisanej przeze mnie grze "wygrać 10zł zaczynając od 5zł".

I okazuje się, że po tych n-1 próbach to czego się spodziewamy w żaden sposób nie różni się od tego co działo się wcześniej, tak ?

Może się różnić, ale średnio biorąc będzie takie samo.

Mam na myśli to, że może być tak, że w pierwszej rundzie rzucamy monetą,
a w drugiej rundzie kostką
\(\displaystyle{ VI = +3PLN \ , \ V = +2 \ , \ IV = +1 \ , \ III=-1 \ , \ II=-2 \ , \ I=-3}\),
a w trzeciej dodajemy do naszego konta liczbę z rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1)}\) jeśli w pierwszym rzucie był orzeł, a z rozkładu jednostajnego \(\displaystyle{ U_{[-1,1]}}\) jeśli w pierwszym rzucie była reszka, a w czwartej stan konta z prawdopodobieństwem 1 będzie równy stanowi konta z trzeciej.

Nie mówimy o szansach na wygranie czegoś, tylko o "stanie naszego konta" - a precyzyjnie - o wartości oczekiwanej stanu tego konta w przyszłości jeśli znamy stan konta obecnie.

Rozkład prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ X_n}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{n-1}}\) może np. jakoś zależeć też od zajścia wcześniejszych zdarzeń z \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\), -jak w zmodyfikowanym przykładzie - ale w każdym przypadku jego wartość oczekiwana jest równa \(\displaystyle{ X_{n-1}}\).

Jeśli zaczynam od 5zł, to wartość oczekiwana stanu mojego konta w następnej rundzie jest równa stanowi konta w obecnej rundzie. To nie znaczy, że na pewno będę miał 5zł w drugiej rundzie (na pewno tyle nie będę miał, bo będę miał 4 albo 6), ale przeciętnie będzie to 5zł. Zacząłem grę od trzech zwycięstw, mam 8zł. Wartość oczekiwana mojego portfela po czwartym rzucie to 8zł, czyli tyle co mam teraz (a tak naprawdę będę miał 9 albo 7zł z równym prawdopodobieństwem).

[leszczu450]

mm34639, hmmm. Ok. Już widzę, gdzie się myliłem. Wszystko rozchodzi się o "wartość oczekiwana stanu konta". I tak jak mówisz- nie chodzi tu o wygraną czy przegraną. Ja do tej pory myślałem w kategoriach - prawdopodobieństwo wygrania i prawdopodobieństwo przegrania. Tutaj jednak prawdopodobieństwo nie gra roli. Chodzi nam o średnią wartość. Tylko jak mogę mówić o średniej wartości stanu mojego konta, skoro raz rzucam kostką, raz monetą, raz wybieram sobie jakąś liczbę i tak dalej ? Nie rozumiem tego za bardzo.-- 16 paź 2014, o 14:13 --mm34639, już rozumiem !!! Ale nadal nie wiem, co ma to wspólnego z uczciwą grą ?

[mm34639]

Powiedzmy, że grają dwie osoby - jak orzeł to pierwsza wygrywa złotówkę, jak reszka to druga. To jest uczciwa gra, nikt nie jest uprzywilejowany - proces opisujący stan konta każdej z tych osób jest martyngałem.

Jak człowiek gra z kasynem w ruletkę (stawiasz złotówkę, z p-stwem \(\displaystyle{ \frac{18}{37}}\) wygrywasz 2zł, tzn. konto rośnie o 1zł, a z p-stwem \(\displaystyle{ \frac{19}{37}}\) nie wygrywasz nic - konto maleje o 1zł), to wartość oczekiwana stanu jego konta w chwili \(\displaystyle{ n}\) jest niższa niż stan konta w chwili \(\displaystyle{ n-1}\). Tutaj stan konta to nie jest martyngał (jest to nadmartyngał), gra nie jest uczciwa, bo kasyno wygrywa trochę częściej.

W tym sensie martyngał to odzwierciedlenie "uczciwej gry" (ale chyba nie każda gra którą z jakiegoś powodu uznamy za uczciwą będzie musiała być martyngałem).

[leszczu450]

mm34639, super ! Teraz kumam ! Ten trzeci warunek w końcu załapałem. Więc już kończąc- wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_n}\) pod warunkiem, że wiem co stało się do tej pory (mówi mi o tym sigma ciało \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{n-1})}\) czyli średni stan konta na chwilę\(\displaystyle{ n}\)równy jest stanowi konta w chwili\(\displaystyle{ n-1}\). I żeby jakaś gra, jakiś proces wygrywania i przegrywania był martyngałem muszę tak dobrać odpowiednie prawdopodobieństwa, żeby ten trzeci warunek rzeczywiście zachodził i oddawał ideę sprawiedliwej gry. Teraz już chyba wszystko dobrze powiedziałem : ) Popraw mnie jeśli się mylę.

[mm34639]

Tak jest ok wg. mnie

[leszczu450]

mm34639, dziękuję Ci bardzo za pomoc : )