Witam.
Czy ktoś mógł by mi wyjaśnić jak krowie na rowie w jaki sposób obliczyć Pr z nieskończoną przestrzenią zdarzeń elementarnych?
Mam takie zadanie:
Rzucamy monetą aż upadnie dwa razy na tą samą stronę. Oblicz Pr że:
-będzie potrzebna nieparzysta liczba rzutów.
-moneta nigdy nie upadnie na tą samą stronę.
W pkt. pierwszym totalnie nie mam pojęcia jak za to się zabrać w pkt. drugim myślałem nad zapisaniem tego jako Pr warunkowe że Jakie jest Pr że wypadnie orzeł jeżeli wcześniej wyrzuciliśmy reszkę i na odwrót i tak w nieskończoność ale nie jestem w stanie tego ubrać w ramy wzoru...
Proszę o pomoc i z góry dziękuję.
Pr z nieskończoną przestrzenią zdarzeń elementarnych.
-
mm34639
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 28 mar 2005, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 61 razy
Pr z nieskończoną przestrzenią zdarzeń elementarnych.
Najpierw oblicz prawdopodobieństwo, że gra zakończy się po \(\displaystyle{ n}\) rzutach (\(\displaystyle{ n \geq 2}\)), tzn. najpierw przez \(\displaystyle{ n-2}\) rzuty będzie na zmianę orzeł i reszka, a później dwa orły / dwie reszki.
To będzie wg. mnie \(\displaystyle{ \frac{2}{2^n}=\frac{1}{2^{n-1}}}\), bo serię mogą zakończyć dwie reszki albo dwa orły (przy ustalonym \(\displaystyle{ n}\) , jeśli wiemy że na końcu są dwa orły, to przed nimi musiała być reszka, przed nią orzeł, i tak się cofając do początku mamy ustalone wszystkie wyrazy).
Tzn \(\displaystyle{ \Omega_n}\) to wszystkie ciągi \(\displaystyle{ n-}\)elementowe orłów i reszek, \(\displaystyle{ |\Omega_n|=2^n}\), tylko dwa ciągi powodują zakończenie serii, więc p-stwo jest takie jak napisałem.
I teraz - nieparzysta liczba rzutów, czyli \(\displaystyle{ \mathbb{P}(n =3 \ \textrm{lub} \ n=5 \ \textrm{lub} \ n=7 \ \textrm{lub} \ldots)=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\ldots=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}}\)
Prawdopodobieństwo, że będzie na zmianę orzeł i reszka bez przerwy jest równe zero.
Zdarzenie przeciwne do tego to zdarzenie, że seria się kiedyś zakończy, czyli że zakończy się w drugim rzucie, lub zakończy w trzecim, lub w czwartym, i tak dalej. Możemy dodawać te prawdopodobieństwa, bo to są zdarzenia rozłączne.
To będzie wg. mnie \(\displaystyle{ \frac{2}{2^n}=\frac{1}{2^{n-1}}}\), bo serię mogą zakończyć dwie reszki albo dwa orły (przy ustalonym \(\displaystyle{ n}\) , jeśli wiemy że na końcu są dwa orły, to przed nimi musiała być reszka, przed nią orzeł, i tak się cofając do początku mamy ustalone wszystkie wyrazy).
Tzn \(\displaystyle{ \Omega_n}\) to wszystkie ciągi \(\displaystyle{ n-}\)elementowe orłów i reszek, \(\displaystyle{ |\Omega_n|=2^n}\), tylko dwa ciągi powodują zakończenie serii, więc p-stwo jest takie jak napisałem.
I teraz - nieparzysta liczba rzutów, czyli \(\displaystyle{ \mathbb{P}(n =3 \ \textrm{lub} \ n=5 \ \textrm{lub} \ n=7 \ \textrm{lub} \ldots)=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\ldots=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}}\)
Prawdopodobieństwo, że będzie na zmianę orzeł i reszka bez przerwy jest równe zero.
Zdarzenie przeciwne do tego to zdarzenie, że seria się kiedyś zakończy, czyli że zakończy się w drugim rzucie, lub zakończy w trzecim, lub w czwartym, i tak dalej. Możemy dodawać te prawdopodobieństwa, bo to są zdarzenia rozłączne.