Mam takie zadanie, które próbuję podjąć, ale nie za bardzo wychodzi. Jaś i Małgosia rzucają monetą. Jaś \(\displaystyle{ n}\) razy, zaś Małgosia \(\displaystyle{ n+1}\) razy.
Jakie jest p-stwo, że Małgosia wyrzuci więcej orłów niż Jaś.
Można pokazać, że p-stwo tego, że wyrzucą tyle samo orłów jest tak samo prawdopodobne jak to, że Małgosia wyrzuci o dokładnie jednego orła więcej. ALe to nic mi nie daje.
prawopodobieństwo wyrzucenia większej liczby orłów
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
prawopodobieństwo wyrzucenia większej liczby orłów
Nie wiem czy to Ci pomoże.
Stosując schemat Bernouliego:
\(\displaystyle{ P(A)= \sum_{i=1}^{n} \left[ {n \choose i} 0,5 ^{i}0,5 ^{n-i} \cdot \sum_{k=0}^{i-1}\left( {n+1\choose k} 0,5 ^{k}0,5 ^{n+1-k}\right) \right] =\sum_{i=1}^{n} \left[ {n \choose i} 0,5 ^{n} \cdot \sum_{k=0}^{i-1}\left( {n+1\choose k} 0,5 ^{n+1}\right) \right]=\\= 0,5 ^{2n+1} \sum_{i=1}^{n} \left( {n \choose i} \cdot \sum_{k=0}^{i-1} {n+1\choose k} \right)}\)
edit
Omyłkowo napisałem iwzór na rawdopodobieństwo że to Jaś wyrzucił więcej orłów, Możesz jednak potraktować to jako sytuację gdzie Jaś wyrzuca więcej reszek co jest równe szukanemu prawdopodobieństwu,
Stosując schemat Bernouliego:
\(\displaystyle{ P(A)= \sum_{i=1}^{n} \left[ {n \choose i} 0,5 ^{i}0,5 ^{n-i} \cdot \sum_{k=0}^{i-1}\left( {n+1\choose k} 0,5 ^{k}0,5 ^{n+1-k}\right) \right] =\sum_{i=1}^{n} \left[ {n \choose i} 0,5 ^{n} \cdot \sum_{k=0}^{i-1}\left( {n+1\choose k} 0,5 ^{n+1}\right) \right]=\\= 0,5 ^{2n+1} \sum_{i=1}^{n} \left( {n \choose i} \cdot \sum_{k=0}^{i-1} {n+1\choose k} \right)}\)
edit
Omyłkowo napisałem iwzór na rawdopodobieństwo że to Jaś wyrzucił więcej orłów, Możesz jednak potraktować to jako sytuację gdzie Jaś wyrzuca więcej reszek co jest równe szukanemu prawdopodobieństwu,
Ostatnio zmieniony 12 paź 2014, o 19:48 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.
-
mm34639
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 28 mar 2005, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 61 razy
prawopodobieństwo wyrzucenia większej liczby orłów
Żeby Małgosia miała więcej w \(\displaystyle{ n+1}\) rzutach, musi mieć więcej w pierwszych \(\displaystyle{ n}\) rzutach, albo tyle samo co Jaś w pierwszych \(\displaystyle{ n}\) rzutach, plus orzeł w \(\displaystyle{ n+1}\)szym rzucie.
Nie jest trudno obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo, że będą mieli tyle samo.
Pomocny może okazać się wzór \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^n {n \choose i}^2={2n \choose n}}\) (jest na wikipedii i nie wiem w tej chwili skąd się wziął), no i fakt że jeśli wiemy że nie mają tyle samo w \(\displaystyle{ n}\) rzutach (każdy rzuca po \(\displaystyle{ n}\) razy), to p-stwo, że Małgosia ma więcej niż Jaś musi być takie samo jak p-stwo że Jaś ma więcej niż Małgosia.
Wydaje mi się że tak powinno się udać to obliczyć, ale nie myślałem nad tym zbyt długo i mogą pojawić się gdzieś trudności
Nie jest trudno obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo, że będą mieli tyle samo.
Pomocny może okazać się wzór \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^n {n \choose i}^2={2n \choose n}}\) (jest na wikipedii i nie wiem w tej chwili skąd się wziął), no i fakt że jeśli wiemy że nie mają tyle samo w \(\displaystyle{ n}\) rzutach (każdy rzuca po \(\displaystyle{ n}\) razy), to p-stwo, że Małgosia ma więcej niż Jaś musi być takie samo jak p-stwo że Jaś ma więcej niż Małgosia.
Wydaje mi się że tak powinno się udać to obliczyć, ale nie myślałem nad tym zbyt długo i mogą pojawić się gdzieś trudności