Warunkowa wartość oczekiwana

[fafner]

Witam,
mam problem z zadaniem:
Wektor losowy \(\displaystyle{ (X, Y, Z)}\) ma rozkład normalny, gdzie: \(\displaystyle{ \mathbb{E}X=0 \ \ \mathbb{E}Y=2 \ \ \mathbb{E}Z=1}\) oraz:

\(\displaystyle{ \Sigma = \begin{bmatrix} 2&\frac{1}{2}&0\\ \frac{1}{2}&2&\frac{1}{2}\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{bmatrix}}\)

Obliczyć \(\displaystyle{ Var(X(Y-2Z))}\)

Rozwiązanie znajduje się tu(zad 2):
... ystyka.pdf

Nie jestem w stanie kompletnie zrozumieć linijki:

\(\displaystyle{ E(Y-2Z | X)= 0 + \frac{0,5}{2}(X-0)=\frac{1}{4}X}\)

Nie rozumiem skąd się wzięło X i w ogóle skąd to się wszystko po prawej stronie wzięło... jakaś podpowiedź?

pozdrawiam

[mm34639]

na dole

a więcej w ... stribution
sekcja "Bivariate conditional expectation"

Jeśli \(\displaystyle{ [X,Y]}\) ma dwuwymiarowy rozkład normalny, to \(\displaystyle{ E(Y|X)=EY+r \cdot \sigma_y \cdot \frac{X-EX}{\sigma_x}}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest współczynnikiem korelacji

zgadzałoby się, bo wg tego wzoru (to akurat oczywiste i bez wzoru) \(\displaystyle{ E(-2Z|X)=-2EZ=-2}\), bo Z i X nieskorelowane

natomiast \(\displaystyle{ E(Y|X)=EY+r \cdot \sigma_y \cdot \frac{X-EX}{\sigma_x}=2+\frac{\frac{1}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}(X-EX)}\)

A w ogólności warunkowy rozkład \(\displaystyle{ Y}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ X}\), to jest rozkład normalny
\(\displaystyle{ N\Big(\mathbb{E}Y+\frac{\sigma_Y}{\sigma_X} \cdot r_{XY} \cdot (X-\mathbb{E}X) \ ; \ (1-r_{XY}^{\, 2}) \sigma_Y^{\, 2} \Big)}\)

[fafner]

Dzięki za pomoc!