przestrzeń probabilistyczna

[Yelon]

1. Czy istnieje taka przestrzeń probabilistyczna \(\displaystyle{ \left( \mathbb{N}, P(\mathbb{N}), \mathbb{P}\right)}\), takie że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\left\{ n\right\} )=const. , n \in \mathbb{N}}\)?

Moim zdaniem nie, bo sypie się warunek \(\displaystyle{ \mathbb{P}( \bigcup_{i \in I}^{} A _{i})= \sum_{i \in I}^{}\mathbb{P}(A _{i})}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{P}( \bigcup_{i \in I}^{} A _{i})= \mathbb{P}(\mathbb{N})=1}\), ale

\(\displaystyle{ \sum_{n \in \mathbb{N}}^{}\mathbb{P}(\left\{ n\right\} )= \sum_{n \in \mathbb{N}}^{} const. \neq 1}\)

Ale jest jeszcze podpunkt drugi: podać przykład takiej przestrzeni, że \(\displaystyle{ \left( \mathbb{N}, P(\mathbb{N}), \mathbb{P}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\left\{ n\right\} )>0}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) i tu już nie mam pomysłu

[Adifek]

1. OK.

2. Połóż np. \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\left\{ n\right\})= \frac{6}{\pi^2 n^2}}\)

[Yelon]

Jak pokazać, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{6}{ \pi ^{2}n ^{2}} =1}\)?

Albo że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n ^{2}}= \frac{\pi ^{2}}{6}}\)?

już znalazłem

[a4karo]

Pokazanie, ze suma tego szeregu to \(\displaystyle{ \pi^2/6}\) chyba nie jest elementarne. Zamiast tego możesz wziąc \(\displaystyle{ P(\{n\})=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}\)
albo
\(\displaystyle{ P(\{n\})=\frac{1}{2^n}}\)

[Yelon]

\(\displaystyle{ P(\{n\})=\frac{1}{2^n}}\)

to się chyba sumuje do dwójki.

Dowód na sumę powyższego szeregu znalazłem tu:

[a4karo]

A \(\displaystyle{ n}\) są od zera? bo jak od 1, to....

Tak, dowod jest fajny. Zawiera tylko jedno zdanie, ktore wymaga powaznego zastanowienia. Potrafisz je znalezc?

Ukryta treść:    

Załóżmy teraz, że możemy wyrazić ten szereg potęgowy jako iloczyn czynników liniowych, tak jak to robimy ze skończonymi wielomianami:

[Yelon]

Z tymi \(\displaystyle{ n}\)-ami to różnie bywa, bo na jednym wykładzie \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) zaczynają się od 0, a na innym od 1

[a4karo]

Ale jak dopuszczasz szereg \(\displaystyle{ \frac{6}{\pi^2n^2}}\) to tu chyba zaczynasz od 1, nieprawdaż?

[Yelon]

w sumie prawdaż