losowy podział odcinków

[Yelon]

Dany jest odcinek długości \(\displaystyle{ a}\), dzielimy go losowo na trzy części. Jakie jest prawdopodobieństwo, że da się z nich ułożyć trójkąt?

Jak się za to zabrać?

[szw1710]

Te trzy części to \(\displaystyle{ x,y,a-x-y}\), gdzie \(\displaystyle{ 0\le x,y\le a}\) oraz \(\displaystyle{ x+y\le a}\). Ponadto zapisz warunki istnienia trójkąta.

[kerajs]

Lub tak:
Niech fragmentami odcinka będą nieujemne x,y,z takie że:
\(\displaystyle{ x+y+z=a}\)
W układzie XYZ rysuję tę płaszczyzną ograniczoną warunkami nieujemności współrzędnych. Daje o trójkąt równoboczny o końcach w punktach \(\displaystyle{ \left( 0,0,a\right) , \left( 0,a,0\right) i \left(a,0,0\right)}\)

Aby x,y,z tworzyły trójkąt to najdłuższy z nich musi być mniejszy (bądź także równy dla trójkąta o zerowym polu) od sumy pozostałych boków.
Sprawia to że:
\(\displaystyle{ 0 < x < \frac{a}{2} \wedge 0 < y < \frac{a}{2} \wedge 0 < z < \frac{a}{2}}\)
Ograniczenia te dzielą uzyskany wczesniej trójkąt równoboczny na cztery równe trójkąty równoboczne z których tylko jeden spełnia warunki zadania.
Stąd poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi 0,25

[Yelon]

do tego właśnie doszedłem, ale czy mogę bez straty ogólności, napisać przypadek, kiedy \(\displaystyle{ x+y > a - (x+y)}\), czy też muszę rozpatrzyć, że np. \(\displaystyle{ x}\) będzie najdłuższym "bokiem"?