warunkowa wartość oczekiwana

[Adifek]

Używa się dosłownie wszędzie. Ponieważ prawdopodobieństwo warunkowe to z definicji \(\displaystyle{ P(X\in B |G) := \mathbb{E}(\chi _{B}(X) |G)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{E}(\chi _{B}(X) |\left\{ \emptyset , \Omega\right\} ) = \mathbb{E}X}\) mamy, że zwykłe prawdopodobieństwo warunkowe jest szczególnym przypadkiem WWO.

Idąc dalej:
Mając dany rozkład wektora \(\displaystyle{ (X,Y)}\) przy użyciu WWO możemy np. policzyć jak zachowuje się \(\displaystyle{ X}\) dla jakichś określonych wartości \(\displaystyle{ Y}\): \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X|Y=y)}\).

Tutaj od razu można podać przykład regresji liniowej:
Mając obserwacje \(\displaystyle{ (y_1 ,\dots , y_n )}\) zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) oraz \(\displaystyle{ (x_1 , \dots ,x_n )}\) i chcąc wyznaczyć krzywą regresji w modelu \(\displaystyle{ Y=X+\varepsilon}\), estymujemy w istocie \(\displaystyle{ \mathbb{E}(Y|X=x)}\) (choć zwykle się o tym nie mówi, żeby ludzi nie straszyć ).

Dalej: W teorii procesów stochastycznych często używa się WWO. Ot, chociażby własność Markowa jest w ten sposób zdefiniowana. Dla procesu Wienera charakterystyczna jest np. własność
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(W_{t+s}-W_s|W_s) = W_t}\)
która mówi, że jeśli patrzymy na przyrost procesu, to nie ważne od kiedy ten przyrost badamy, tylko jak długo ten przyrost trwa.

Takich sytuacji ogólnie jest masa. I WWO bardzo często pomaga coś łatwo zapisać, łatwo zrozumieć i ogólnie jest fajne Niestety trzeba się z tym pojęciem trochę oswoić. I obliczenia często bywają niełatwe.

[leszczu450]

Adifek, bardzo dziękuję Tobie za pomoc : ) To wszystkie moje pytani! Jeszcze raz wielkie dzięki!