Średnica koła ma rozkład jednostajny
-
Magda0601
- Użytkownik
- Posty: 151
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 20:46
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 16 razy
Średnica koła ma rozkład jednostajny
Średnica koła ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ 0<a<b}\). Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję pola tego koła.
-
mm34639
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 28 mar 2005, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 61 razy
Średnica koła ma rozkład jednostajny
Pole koła jest zmienną losową. Znajdziemy jej dystrybuantę.
Niech D oznacza średnicę, P - pole
\(\displaystyle{ F_{D}(t)=\mathbb{P}(D<t)=\frac{t-a}{b-a}}\) dla \(\displaystyle{ t \in [a,b]}\) , \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ t<a}\) , \(\displaystyle{ 1}\) dla \(\displaystyle{ t>b}\).
Pole zmienia się od \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} a^2}\) do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}b^2}\) , jest zawsze dodatnie - podobnie jak średnica, dla \(\displaystyle{ u \in [\frac{\pi}{4} a^2 \ , \ \frac{\pi}{4} b^2]}\) możemy napisać
\(\displaystyle{ F_P(u)=\mathbb{P}(P<u)=\mathbb{P}\left(\frac{\pi}{4}D^2<u\right)=\mathbb{P}(D^2<\frac{4u}{\pi})=\mathbb{P}(D<\sqrt{\frac{4u}{\pi}})=F_D\left( \sqrt{\frac{4u}{\pi}} \right)=\frac{\sqrt{\frac{4u}{\pi}}-a}{b-a}}\)
Zauważmy, że skoro \(\displaystyle{ u \in [\frac{\pi}{4} a^2 \ , \ \frac{\pi}{4} b^2]}\)
to \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{4u}{\pi}} \in [a \ , \ b]}\) , więc wszystko ok.
Zatem, gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ P}\), którą oznaczymy \(\displaystyle{ f_P(u)}\), będzie równa pochodnej \(\displaystyle{ F_P(u)}\), dla \(\displaystyle{ u \in [\frac{\pi}{4} a^2 \ , \ \frac{\pi}{4} b^2]}\) , a zero w przeciwnym razie.
\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial \, u} \left( F_P(u) \right) = \frac{\partial}{\partial \, u} \left( \frac{\sqrt{\frac{4u}{\pi}}-a}{b-a} \right) =\frac{1}{b-a} \cdot \frac{\partial}{\partial \, u} \left( \sqrt{\frac{4u}{\pi}}-a \right)=\frac{\frac{\sqrt{4}}{{\sqrt{\pi}}}}{b-a} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{u}}=\frac{u^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi} (b-a)}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}P = \int_{\frac{\pi a^2}{4}}^{\frac{\pi b^2}{4}} u \cdot \frac{u^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi} (b-a)}=...}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}P^2 = \int_{\frac{\pi a^2}{4}}^{\frac{\pi b^2}{4}} u^2 \cdot \frac{u^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi} (b-a)}=...}\)
\(\displaystyle{ \textrm{Var} P = \mathbb{E}(P^2) - (\mathbb{E}(P))^2=...}\)
Niech D oznacza średnicę, P - pole
\(\displaystyle{ F_{D}(t)=\mathbb{P}(D<t)=\frac{t-a}{b-a}}\) dla \(\displaystyle{ t \in [a,b]}\) , \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ t<a}\) , \(\displaystyle{ 1}\) dla \(\displaystyle{ t>b}\).
Pole zmienia się od \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} a^2}\) do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}b^2}\) , jest zawsze dodatnie - podobnie jak średnica, dla \(\displaystyle{ u \in [\frac{\pi}{4} a^2 \ , \ \frac{\pi}{4} b^2]}\) możemy napisać
\(\displaystyle{ F_P(u)=\mathbb{P}(P<u)=\mathbb{P}\left(\frac{\pi}{4}D^2<u\right)=\mathbb{P}(D^2<\frac{4u}{\pi})=\mathbb{P}(D<\sqrt{\frac{4u}{\pi}})=F_D\left( \sqrt{\frac{4u}{\pi}} \right)=\frac{\sqrt{\frac{4u}{\pi}}-a}{b-a}}\)
Zauważmy, że skoro \(\displaystyle{ u \in [\frac{\pi}{4} a^2 \ , \ \frac{\pi}{4} b^2]}\)
to \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{4u}{\pi}} \in [a \ , \ b]}\) , więc wszystko ok.
Zatem, gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ P}\), którą oznaczymy \(\displaystyle{ f_P(u)}\), będzie równa pochodnej \(\displaystyle{ F_P(u)}\), dla \(\displaystyle{ u \in [\frac{\pi}{4} a^2 \ , \ \frac{\pi}{4} b^2]}\) , a zero w przeciwnym razie.
\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial \, u} \left( F_P(u) \right) = \frac{\partial}{\partial \, u} \left( \frac{\sqrt{\frac{4u}{\pi}}-a}{b-a} \right) =\frac{1}{b-a} \cdot \frac{\partial}{\partial \, u} \left( \sqrt{\frac{4u}{\pi}}-a \right)=\frac{\frac{\sqrt{4}}{{\sqrt{\pi}}}}{b-a} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{u}}=\frac{u^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi} (b-a)}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}P = \int_{\frac{\pi a^2}{4}}^{\frac{\pi b^2}{4}} u \cdot \frac{u^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi} (b-a)}=...}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}P^2 = \int_{\frac{\pi a^2}{4}}^{\frac{\pi b^2}{4}} u^2 \cdot \frac{u^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi} (b-a)}=...}\)
\(\displaystyle{ \textrm{Var} P = \mathbb{E}(P^2) - (\mathbb{E}(P))^2=...}\)