Co jest bardziej prawdopodobne:
\(\displaystyle{ A}\) uzyskanie co najmniej \(\displaystyle{ 1}\) szóstki w \(\displaystyle{ 6}\) rzutach?
\(\displaystyle{ B}\) uzyskanie co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) szóstek w \(\displaystyle{ 12}\) rzutach?
\(\displaystyle{ C}\) uzyskanie co najmniej \(\displaystyle{ 3}\) szóstek w \(\displaystyle{ 18}\) rzutach?
I teraz po prostu porównam wszystkie p-stwa.
Skorzystam, z kombinacji z powtórzeniami.
\(\displaystyle{ |\Omega_A|={11\choose 6}}\)
Tzn, wybieram z powtórzeniami \(\displaystyle{ 6}\) liczb spośród sześciu (nie jest ważna kolejność).
Z kolei zdarzenie sprzyjające, to ustalam, że już jeden raz wyrzuciłem szóstkę i losuję pozostałe pięć liczb.
\(\displaystyle{ |A|={10\choose 5}}\)
Widać, że \(\displaystyle{ P(A) = \frac{6}{11}}\)
I niby nie widzę błędu, analogicznie bym chciał policzyć pozostałe przypadki, ale tu się zatrzymam bo mam pewną niezgodność: Policzyłem \(\displaystyle{ P(A)}\), ale licząc inaczej dostanę inny wynik:
Zdarzenie przeciwne, to takie, że ani jedna szóstka nie została wylosowana.
\(\displaystyle{ P(A') = \frac{5^6}{6^6}}\)
A wiadomo, że wychodzi mi, że \(\displaystyle{ 1-P(A') \neq P(A)}\)
Gdzie jest błąd ?
porównanie prawdopodobieństw
- mm34639
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 28 mar 2005, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 61 razy
porównanie prawdopodobieństw
Kolejność jest ważna (żeby model doświadczenia odpowiadał rzeczywistemu rzucaniu kostkami), dlatego dobry jest drugi sposób, w którym kolejność jest uwzględniona:matinf pisze: Tzn, wybieram z powtórzeniami \(\displaystyle{ 6}\) liczb spośród sześciu (nie jest ważna kolejność).
licząc inaczej dostanę inny wynik:
Zdarzenie przeciwne, to takie, że ani jedna szóstka nie została wylosowana.
\(\displaystyle{ P(A') = \frac{5^6}{6^6}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1922
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 695 razy
- Pomógł: 4 razy
porównanie prawdopodobieństw
Nie do końca się zgadzam. Nie odpowiada rzczywistości to nie odpowiada, ale to nie wyjaśnia dlaczego prawdopodobieństwa są inne. Wszak powinny być takie same.
- mm34639
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 28 mar 2005, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 61 razy
porównanie prawdopodobieństw
Nie powinny być takie same - dwie różne omegi, dwa różne zdarzenia, więc prawdopodobieństwa mogą wyjść różne.
W pierwszym przypadku kostki są nieodróżnialne, w drugim są. To dwa różne modele, i dają inne wyniki.
Weźmy dwie monety, i spytajmy o p-stwo dwóch orłów.
Jeśli liczymy jak kombinacje z powtórzeniami 2-elementowe z 2-elementowego zbioru, to ich jest \(\displaystyle{ {3 \choose 2}=3}\). Możemy je nawet wypisać - \(\displaystyle{ oo \ or \ rr}\). Dwa orły wypadają na jeden sposób, więc w tym modelu p-stwo dwóch orłów to \(\displaystyle{ \frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{1}{3}}\).
Ale nie możemy tak zrobić, bo to "klasyczny model prawdopodobieństwa" który wymaga założenia, że spośród \(\displaystyle{ oo \ or \ rr}\) każdy wynik eksperymentu jest równie prawdopodobny. Tymczasem \(\displaystyle{ or}\) wypadać będzie częściej niż \(\displaystyle{ oo}\) albo \(\displaystyle{ rr}\) przy wielu rzutach.
Drugi model jest inny - tu mamy omegę \(\displaystyle{ oo \ or \ ro \ rr}\) (wariacje z powtórzeniami), i prawdopodobieństwo dwóch orłów jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\).
W pierwszym przypadku kostki są nieodróżnialne, w drugim są. To dwa różne modele, i dają inne wyniki.
Weźmy dwie monety, i spytajmy o p-stwo dwóch orłów.
Jeśli liczymy jak kombinacje z powtórzeniami 2-elementowe z 2-elementowego zbioru, to ich jest \(\displaystyle{ {3 \choose 2}=3}\). Możemy je nawet wypisać - \(\displaystyle{ oo \ or \ rr}\). Dwa orły wypadają na jeden sposób, więc w tym modelu p-stwo dwóch orłów to \(\displaystyle{ \frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{1}{3}}\).
Ale nie możemy tak zrobić, bo to "klasyczny model prawdopodobieństwa" który wymaga założenia, że spośród \(\displaystyle{ oo \ or \ rr}\) każdy wynik eksperymentu jest równie prawdopodobny. Tymczasem \(\displaystyle{ or}\) wypadać będzie częściej niż \(\displaystyle{ oo}\) albo \(\displaystyle{ rr}\) przy wielu rzutach.
Drugi model jest inny - tu mamy omegę \(\displaystyle{ oo \ or \ ro \ rr}\) (wariacje z powtórzeniami), i prawdopodobieństwo dwóch orłów jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\).