porównanie prawdopodobieństw

[matinf]

Co jest bardziej prawdopodobne:

\(\displaystyle{ A}\) uzyskanie co najmniej \(\displaystyle{ 1}\) szóstki w \(\displaystyle{ 6}\) rzutach?
\(\displaystyle{ B}\) uzyskanie co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) szóstek w \(\displaystyle{ 12}\) rzutach?
\(\displaystyle{ C}\) uzyskanie co najmniej \(\displaystyle{ 3}\) szóstek w \(\displaystyle{ 18}\) rzutach?

I teraz po prostu porównam wszystkie p-stwa.

Skorzystam, z kombinacji z powtórzeniami.
\(\displaystyle{ |\Omega_A|={11\choose 6}}\)
Tzn, wybieram z powtórzeniami \(\displaystyle{ 6}\) liczb spośród sześciu (nie jest ważna kolejność).
Z kolei zdarzenie sprzyjające, to ustalam, że już jeden raz wyrzuciłem szóstkę i losuję pozostałe pięć liczb.
\(\displaystyle{ |A|={10\choose 5}}\)
Widać, że \(\displaystyle{ P(A) = \frac{6}{11}}\)
I niby nie widzę błędu, analogicznie bym chciał policzyć pozostałe przypadki, ale tu się zatrzymam bo mam pewną niezgodność: Policzyłem \(\displaystyle{ P(A)}\), ale licząc inaczej dostanę inny wynik:
Zdarzenie przeciwne, to takie, że ani jedna szóstka nie została wylosowana.
\(\displaystyle{ P(A') = \frac{5^6}{6^6}}\)
A wiadomo, że wychodzi mi, że \(\displaystyle{ 1-P(A') \neq P(A)}\)

Gdzie jest błąd ?

[mm34639]

Tzn, wybieram z powtórzeniami \(\displaystyle{ 6}\) liczb spośród sześciu (nie jest ważna kolejność).

Kolejność jest ważna (żeby model doświadczenia odpowiadał rzeczywistemu rzucaniu kostkami), dlatego dobry jest drugi sposób, w którym kolejność jest uwzględniona:

licząc inaczej dostanę inny wynik:
Zdarzenie przeciwne, to takie, że ani jedna szóstka nie została wylosowana.
\(\displaystyle{ P(A') = \frac{5^6}{6^6}}\)

[matinf]

Nie do końca się zgadzam. Nie odpowiada rzczywistości to nie odpowiada, ale to nie wyjaśnia dlaczego prawdopodobieństwa są inne. Wszak powinny być takie same.

[mm34639]

Nie powinny być takie same - dwie różne omegi, dwa różne zdarzenia, więc prawdopodobieństwa mogą wyjść różne.

W pierwszym przypadku kostki są nieodróżnialne, w drugim są. To dwa różne modele, i dają inne wyniki.

Weźmy dwie monety, i spytajmy o p-stwo dwóch orłów.

Jeśli liczymy jak kombinacje z powtórzeniami 2-elementowe z 2-elementowego zbioru, to ich jest \(\displaystyle{ {3 \choose 2}=3}\). Możemy je nawet wypisać - \(\displaystyle{ oo \ or \ rr}\). Dwa orły wypadają na jeden sposób, więc w tym modelu p-stwo dwóch orłów to \(\displaystyle{ \frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{1}{3}}\).

Ale nie możemy tak zrobić, bo to "klasyczny model prawdopodobieństwa" który wymaga założenia, że spośród \(\displaystyle{ oo \ or \ rr}\) każdy wynik eksperymentu jest równie prawdopodobny. Tymczasem \(\displaystyle{ or}\) wypadać będzie częściej niż \(\displaystyle{ oo}\) albo \(\displaystyle{ rr}\) przy wielu rzutach.

Drugi model jest inny - tu mamy omegę \(\displaystyle{ oo \ or \ ro \ rr}\) (wariacje z powtórzeniami), i prawdopodobieństwo dwóch orłów jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\).

[matinf]

Wielkie dzięki!! Masz 100% racji. Jutro od nowa podejdę do zadanie i pokażę.