Wybieranie kart z talii i sadzanie w ławkach.

[dulcemaria94]

Witam! Mam problem z rozwiązaniem dwóch zadań:
1. Z tradycyjnej talii 24 kart wybieramy pięć kart. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy jedna parę (i nic więcej).
2. W klasie jest 10 dziewcząt i 10 chłopców, którym przydzielono arbitralnie i losowo miejsca w 10 dwuosobowych ławkach. Jaka jest szansa, że w każdej ławce będzie siedziała dziewczynka i chłopiec?
Wiem, że odpowiedź do drugiego zadania to: \(\displaystyle{ \frac{2^{10}\cdot(10!)^{2}}{20!}}\)

[mm34639]

Drugie:
\(\displaystyle{ | \ K_1 \ M_1 \ | \ K_2 \ M_2 \ | \ \ldots \ | \ K_{10} \ M_{10} \ |}\)
Ławki stoją "obok siebie". Na razie załóżmy, że na \(\displaystyle{ 1,3,\ldots,19}\) licząc od lewej miejscu jest dziewczynka, a na \(\displaystyle{ 2,4,\ldots,20}\) chłopiec. Takich układów jest \(\displaystyle{ 10! \cdot 10!}\), bo chłopcy siadają na "męskich" miejscach na \(\displaystyle{ 10!}\) sposobów i dziewczynki też. Ale w ramach każdej ławki chłopiec i dziewczynka mogą się zamienić miejscami, więc mnożymy to razy \(\displaystyle{ 2^{10}}\) (dwa sposoby na zasiedlenie ławki, 10 ławek).

Pierwsze:
Talia od asa do dziewiątki. Musimy mieć jedną parę tego samego rodzaju, i trzy różne karty innego rodzaju spośród \(\displaystyle{ \{ \ A \ K \ D \ W \ 10 \ 9 \ \}}\).

\(\displaystyle{ \frac{6 \cdot {4 \choose 2} \cdot {5 \choose 3} \cdot 4}{{24 \choose 5}}}\)

Na \(\displaystyle{ 6}\) sposobów wybieramy rodzaj karty z którego będzie para, na \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\) kolory w tej parze, z pozostałych niewykorzystanych \(\displaystyle{ 5}\) rodzajów kart wybieramy \(\displaystyle{ 3}\) rodzaje pozostałych kart (\(\displaystyle{ {5 \choose 3}}\)) i każdej z nich wybieramy kolor na \(\displaystyle{ 4}\) sposoby.
Chyba.

[dulcemaria94]

Rozumiem, dziękuję!