Łączny rozkład beta

[fafner]

Witam,

Mam problem z zadaniem z egzaminu aktuarialnego:

Niech \(\displaystyle{ U_1, U_2 \dots U_n}\) będzie próbą z rozkładu \(\displaystyle{ J[a,b]}\)
Rozważmy zmienne losowe:

\(\displaystyle{ X=min \{U_1, U_2 .... U_n \}}\)

\(\displaystyle{ Y=max \{U_1, U_2 .... U_n\}}\)

Obliczyć \(\displaystyle{ Corr(X,Y)}\).

Mam w tym zadaniu problem z obliczeniem gęstości łącznej \(\displaystyle{ (X,Y)}\). Ponadto, w rozwiązaniu(zad2):
... ystyka.pdf

Jest po prostu pokazana gęstość tej zmiennej:

\(\displaystyle{ f_{min, max} (x,y)= n! \frac{(y-x)^{n-2}}{(n-2)!}}\)

Nie mam pojęcia w jaki sposób została policzona...Nie wiem w ogóle jak do tego podejść, jakaś podpowiedź?

[Prefix]

Poczytaj sobie o rozkładach statystyk pozycyjnych.
Może tutaj coś znajdziesz
... teoria.pdf

edit
To zadanie było też w październiku 2008 (nr 4). Tam jest ciut inaczej zrobione, może łatwiej zrozumiesz.

[robertm19]

A czy wiesz jak wyznacza się rozkłady zmiennych? W przypadku dwóch skrajnych statystyk pozycyjnych jest to bardzo proste, bo

\(\displaystyle{ P( max \leq s, mint\leq t)= P(max\leq s)-P(min\geq t, max\leq s)}\).

Z góry przepraszam za skrótowy zapis.

[fafner]

A czy wiesz jak wyznacza się rozkłady zmiennych?

Nie potrafię wyznaczyć rozkładu łącznego zależnych zmiennych losowych

W przypadku dwóch skrajnych statystyk pozycyjnych jest to bardzo proste, bo

\(\displaystyle{ P( max \leq s, mint\leq t)= P(max\leq s)-P(min\geq t, max\leq s)}\).

Z góry przepraszam za skrótowy zapis.

Nie rozumiem, po co jest to rozwinięcie. Próbowałem tą prawą stronę obliczyć:

\(\displaystyle{ P(max\leq s)=\left( F_X (s) \right)^n}\)

Drugiego składnika nie umiem policzyć, próbowałem ze wzoru:

\(\displaystyle{ \int\limits_{t}^{s} f_Y (y) \int\limits_{t}^{y} f_X (x) dx dy}\)

ale wychodzi zupełnie co innego...

[robertm19]

Tak, pierwszy składnik dobrze.

Drugi to \(\displaystyle{ P( t \leq X_1 \leq s)^n}\).
Jak widzisz pierwszy składnik po zróżniczkowaniu po t i s wyjdzie 0. Zatem ten drugi jest ważny.

[fafner]

Drugi to \(\displaystyle{ P( t \leq X_1 \leq s)^n}\).

nie dostrzegłem tego, dzięki za pomoc!