Wektory losowe

[karolcia_23]

Mam pytanie do zadania, czy dobrze myślę jak je rozwiązać
Zad.
Dana jest funkcja
\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{2 \sqrt{x^3y^3} } \quad 1 \le x <\infty \quad x \le y<\infty\\ 0 \quad w\ p.w.\end{cases}}\)

określa rozkład wektora (X,Y). Znaleźć dystrybuantę wektora (X,Y) oraz gęstości brzegowe zmiennych X i Y.

I teraz chciałam zastosować wzór \(\displaystyle{ F(x)= \int_{-\infty}^{x_1} \int_{-\infty}^{x_2} f(x,y)dxdy}\)
tylko nie wiem po jakim dokładnie przedziale całkować
a do gęstości brzegowej takie wzory
\(\displaystyle{ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y)dy, \quad f_Y (y) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x, y)dx.}\)

[mm34639]

Dana jest funkcja
\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{2 \sqrt{x^3y^3} } \quad 1 \le x <\infty \quad x \le y<\infty\\ 0 \quad w\ p.w.\end{cases}}\)

określa rozkład wektora (X,Y).

Narysuj sobie zbiór na płaszczyźnie XY zbiór w którym funkcja gęstości jest różna od zera.

Dystrybuanta \(\displaystyle{ F(x,y)}\) będzie równa zeru gdy \(\displaystyle{ x \leq 1}\), albo \(\displaystyle{ x>1}\) i \(\displaystyle{ y<1}\). W przeciwnym ( \(\displaystyle{ x>1}\) i \(\displaystyle{ y>1}\) ) razie uwzględnij przypadek gdy \(\displaystyle{ x>y}\) i \(\displaystyle{ x<y}\) - narysuj sobie na obrazku po czym całkujesz (pewien trójkąt / pewien trójkąt + pewien prostokąt) i wypisz odpowiednie granice.

[karolcia_23]

no mi wyszły takie wyniki

\(\displaystyle{ F(x)= \frac{2x}{ \sqrt{x^3} }}\)

\(\displaystyle{ f_X(x)= -\frac{1}{x^2}}\)

\(\displaystyle{ f_Y(y)=- \frac{1}{ \sqrt{y^3} }}\)

[mm34639]

Ujemne gęstości?

A dystrybuanta to funkcja dwóch zmiennych w naszym przypadku, więc też źle.

Napisz mniej więcej co i jak robiłaś.

[karolcia_23]

no zastosowałam te wzory co wyżej napisałam

[mm34639]

Dobrze jest rozumieć wzory których się używa. Twoja gęstość jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{x^3y^3} }}\) tylko na pewnym podzbiorze płaszczyzny (w szarym kolorze na rysunkach poniżej), w przeciwnym przypadku jest równa zero.
Dlatego, aby obliczyć wartość dystrybuanty w pewnym punkcie \(\displaystyle{ (x_0, y_0)}\), całkę bierzemy tylko po tym różowym - bo całka po białym jest równa zero. Różowe ma inny kształt w zależności od tego, czy \(\displaystyle{ x_0<y_0}\), czy \(\displaystyle{ x_0 \geq y_0}\). Dlatego rozpatrujemy 2 przypadki z różnymi granicami całkowania, na koniec próbujemy jakoś "skleić" oba przypadki w jeden.





To, co u Ciebie we wzorze na dystrybuantę nazywa się \(\displaystyle{ (x_1, x_2)=x}\), u mnie nazywa się \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\), żeby nazewnictwo było spójne z oznaczeniem zmiennych w funkcji gęstości.

Licząc gęstości brzegowe z Twoich wzorów też musisz uważać po czym całkujesz...

[karolcia_23]

Mam pytanie: to zawsze jak mam policzyć dystrybuantę po funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)}\) w sensie dwóch zmiennych to muszę sprawdzić obszary, bo chyba jak tylko gęstości brzegowe to nie muszę rozpatrywać różnych przypadków tak jak w dystrybuancie?