kulki nakryte kubkami

[boleczek]

Witam,
Mamy 5 kulek nakrytych kubkami. 4 kulki są czarne, a jedna nazwijmy ją x jest czarna z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p=0,6}\) lub czerwona z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p_{2}=1-0,6=0,4}\).
Odkrywamy 3 kubki i stwierdzamy że wszystkie dotychczas odkryte kulki są czarne.
Pytanie: Jakie jest prawdopodobieństwo że kulka x jest czarna ?

To logiczne że im więcej kulek odkryjemy i będą tam same czarne, to rośnie prawdopodobieństwo że kulka x jest czarna, bo jeśli miałaby być czerwona to pewnie już byśmy ją odkryli. Ale jak to policzyć ?
Z góry dzięki .

edit: Jeśli kulka x jest czarna to nie możemy jej odróżnić od innych czarnych kulek.

[pyzol]

Ze wzoru Bayesa, bądź też p-stwo całkowite.
\(\displaystyle{ A}\) - wyciągnięto 3 czarne
\(\displaystyle{ B}\) - x jest czarna.
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ P(A|B)=1\\
P(A|B')=\frac{\binom{4}{2}}{\binom53}=\frac{3}{5}}\)
Z tego obliczmy:
\(\displaystyle{ P(A)=P(A|B')\cdot P(B')+P(A|B)\cdotP(B)=\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}+1\cdot\frac{3}{5}=\frac{21}{25}}\)
Dalej korzystamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}}\)