Liczenie prawdopodobieństwa, a całki.

[tracer86]

Witam!

Mam następujące pytanie: dlaczego używamy właśnie całek do obliczenia prawdopodobieństwa w przypadku, gdy mamy do czynienia ze zmienną losową ciągłą?

Zawsze rozumiałem pojęcie całki jako pole pod wykresem funkcji ograniczone pewnymi przedziałami. Dlaczego właśnie te pole określa prawdopodobieństwo? Spotkałem się również z inną, wczesną interpretacją całki jako suma nieskończenie wielu, nieskończenie małych liczb z danego przedziału, co ma sens jeśli mówimy o obliczaniu prawdopodobieństwa z rozkładu ciągłego, ale nie widzę związku pomiędzy dwoma wymienionymi interpretacjami.

Za wszelkie próby wytłumaczenia tego zagadnienia będą bardzo wdzięczny.

Pozdrawiam i jeszcze raz z góry dziękuję za wszelką pomoc.

[szw1710]

Spróbuj narysować sobie wykres gęstości rozkładu jednostajnego. Powiedzmy, że masz autobus odjeżdżający z przystanku co \(\displaystyle{ 10}\) minut. Wylicz ręcznie prawdopodobieństwo, że przychodzący na przystanek pasażer będzie czekał co najwyżej dwie minuty. A teraz policz to samo używając gęstości i pola pod jej wykresem. Oczywiście zmienną losową jest czas oczekiwania pasażera na autobus. Dlatego używa się całek.

[bartek118]

Bo całka to jest takie "uogólnienie" sumy. "Dodajemy" do siebie prawdopodobieństwa, dla każdego elementu danego zbioru.

[Adifek]

Bo całka to jest takie "uogólnienie" sumy.

W tym wypadku lepiej powiedzieć, że to raczej suma jest szczególnym przypadkiem całki. Bo w teorii prawdopodobieństwa nie mamy do czynienia z całkami Riemanna, a całkami względem określonych miar. W przypadku rozkładów ciągłych jest to całka względem miary Lebesgue'a. Stąd brak wyraźnego powiązania między prawdopodobieństwem a klasyczną interpretacją całek jako pola. To powiązanie wynika dopiero z tego, że wartości całek względem miary Lebesgue'a i całek Riemanna pokrywają się na przedziałach.

[szw1710]

A tak w ogóle, to ważna jest całka Riemanna-Stieltjesa. Np. wartość oczekiwana to całka \(\displaystyle{ \tahbbb{E}X=\int_{-\infty}^{\infty} x\dd F}\), gdzie \(\displaystyle{ F}\) to dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), obojętnie jakiej. Owszem, każda dystrybuanta generuje miarę Borela \(\displaystyle{ \mu}\) tak, że \(\displaystyle{ muigl([a,b)igr)=F(b)-F(a)}\). To wystarczy do całkowitego określenia tej miary. Więc rzeczywiście - wszystko sprowadza się do całek względem miar.

[Adifek]

Można też pokazać, że każda borelowska miara regularna \(\displaystyle{ \mu}\) wyznacza pewną klasę \(\displaystyle{ \Phi}\) funkcji różniących się jedynie o stałą takich, że

\(\displaystyle{ Fin Phi Rightarrow mu ([a,b)) = F(b)-F(a)}\)

[bartek118]

A tak w ogóle, to ważna jest całka Riemanna-Stieltjesa. Np. wartość oczekiwana to całka \(\displaystyle{ \tahbbb{E}X=\int_{-\infty}^{\infty} x\dd F}\), gdzie \(\displaystyle{ F}\) to dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), obojętnie jakiej. Owszem, każda dystrybuanta generuje miarę Borela \(\displaystyle{ \mu}\) tak, że \(\displaystyle{ muigl([a,b)igr)=F(b)-F(a)}\). To wystarczy do całkowitego określenia tej miary. Więc rzeczywiście - wszystko sprowadza się do całek względem miar.

Moim zdaniem zdecydowanie lepiej to widać z takiej definicji:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \int_\Omega X \mathrm{d}\mathbb{P},}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{P}}\) jest miarą probabilistyczną na przestrzeni \(\displaystyle{ \Omega}\). Ale to już kwestia gustu.