Niech \(\displaystyle{ \overrightarrow{X}=\left[ \begin{array}{c}X_1 \\ X_2 \\ \vdots \\ X_n \end{array} \right]}\) ma wielowymiarowy rozkład normalny ze średnią \(\displaystyle{ \mu}\) i macierzą kowariancji \(\displaystyle{ \Sigma}\), a \(\displaystyle{ \overrightarrow{U}=\left[ \begin{array}{c}U_1 \\ U_2 \\ \vdots \\ U_n \end{array} \right]}\) to wektor zmiennych niezależnych o rozkładach normalnych \(\displaystyle{ N(0,1)}\).
Czy możemy (umiemy), znając \(\displaystyle{ \mu}\) i \(\displaystyle{ \Sigma}\), przedstawić \(\displaystyle{ \overrightarrow{X}}\) jako \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c}a_1U_1+a_2U_2+\ldots+a_nU_n\\ b_1U_1+b_2U_2+\ldots+b_nU_n \\ \vdots \\ k_1U_1+k_2U_2+...+k_nU_n \end{array} \right]}\)? (w sensie, żeby miały taki sam rozkład, kowariancje, etc)
To chyba pytanie trochę z algebry liniowej, bo coś mam w notatkach (Nie pamiętam skąd: Wikipedia? Książka? A może się pomyliłem, dlatego nie ufam), że jeśli \(\displaystyle{ \Sigma^{-1}=(T^{-1})^T \, T^{-1}}\), to \(\displaystyle{ T\overrightarrow{U}}\) ma taki rozkład jak \(\displaystyle{ \overrightarrow{X}}\).
Czyli wystarczyłoby znaleźć \(\displaystyle{ T}\) znając \(\displaystyle{ \Sigma^{-1}}\). Czy to prawda?
Jeśli tak, to jest na taki rozkład jakiś algorytm? Czy w tym przypadku to rozkład jednoznaczny w ogóle? (na szczęście macierz kowariancji ma jakieś tam własności, chyba dodatnio określona, symetryczna). Pod jakim hasłem go szukać?