Warunkowa wartość oczekiwana

[acmilan]

Jeżeli zdarzenia \(\displaystyle{ \{A_i\}}\) są parami rozłączne i ich suma ma prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ 1}\), to mamy wzór:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{E}(X|A_i)\cdot\mathbb{P}(A_i)}\)
Czy poprawny jest analogiczny wzór:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\int_{\mathbb{R}}\mathbb{E}(X|Y=t)f_{Y}(t)dt}\)
gdzie \(\displaystyle{ Y}\) jest dowolną zmienną losową
?
Z góry dziękuję.

[Adifek]

Nie jest. Zauważ, że nośnik \(\displaystyle{ Y}\) może być właściwym podzbiorem prostej, a nośnikiem \(\displaystyle{ X}\) może być cała prosta.

Potrzebujesz dodatkowego założenia, np. nośnik \(\displaystyle{ X}\) jest zawarty w nośniku \(\displaystyle{ Y}\) albo bardziej restrykcyjnie - nośnikiem \(\displaystyle{ Y}\) jest cała prosta.