teoria miary - rodzina zbiorów

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
metamatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 26 lip 2004, o 02:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 6 razy

teoria miary - rodzina zbiorów

Post autor: metamatyk »

Czy ktoś ma pomysł jak powalczyć z takim zadankiem:

Niech \(\displaystyle{ A_n}\) będzie rodziną zbiorów, taką, że istnieje \(\displaystyle{ \alpha\in \left( 0,1 \right)}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ P \left( A_n \right) \geq\alpha}\). Załóżmy ponadto, że nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ P \left( A_n \right) \to 1}\). Wykaż, że nie istnieje podciąg \(\displaystyle{ n_k}\) że zachodzi
\(\displaystyle{ P \left( \bigcap_{k=1}^{ \infty }A_{n_{k}} \right) >0}\)

Zadanie jest z pewnego zbioru zadań, a ja jak na razie znalazłem kontrprzykład. Otóż, jeśli weźmiemy np wszystkie \(\displaystyle{ A_{2n}=\Omega}\) wtedy z łatwością znajdziemy podciąg dla którego
\(\displaystyle{ P \left( \bigcap_{k=1}^{ \infty }A_{n_{k}} \right) =P \left( \Omega \right) =1>0}\)
Ostatnio zmieniony 20 wrz 2014, o 22:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

teoria miary - rodzina zbiorów

Post autor: Adifek »

No coś nie gra z założeniami.
mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

teoria miary - rodzina zbiorów

Post autor: mostostalek »

suma da omege a nie przekrój..
metamatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 26 lip 2004, o 02:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 6 razy

teoria miary - rodzina zbiorów

Post autor: metamatyk »

Przekrój zbiorów będących samymi omegami da omege
Zadanie trochę niejasno sformułowane. Oryginał pochodzi stąd:
... &q&f=false

Zadanie zaczyna się na stronie 22, a newralgiczna część to podpunkt (b) ze strony 23.
mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

teoria miary - rodzina zbiorów

Post autor: mostostalek »

Ale Ty chyba nie możesz sobie definiować \(\displaystyle{ A_n}\)??
Awatar użytkownika
M Ciesielski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2524
Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 302 razy

teoria miary - rodzina zbiorów

Post autor: M Ciesielski »

...tutaj były głupoty...
Ostatnio zmieniony 21 wrz 2014, o 10:57 przez M Ciesielski, łącznie zmieniany 1 raz.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34124
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

teoria miary - rodzina zbiorów

Post autor: Jan Kraszewski »

Mylisz kwantyfikatory.

Podpunkt (b) brzmi:

Wykaż, że istnieje rodzina \(\displaystyle{ \{A_n:n\ge 1\}}\) taka, że istnieje \(\displaystyle{ \alpha\in \left( 0,1 \right)}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ P \left( A_n \right) \geq\alpha}\) oraz że dla każdego podciągu podciągu \(\displaystyle{ \{n_k:k\ge 1\}}\) zachodzi

\(\displaystyle{ P \left( \bigcap_{k=1}^{ \infty }A_{n_{k}} \right) =0}\).
M Ciesielski pisze:Wystarczy na przykład przyjąć, że wszystkie zdarzenia \(\displaystyle{ A_n, \mbox{ } n \in \mathbb{N}}\) są te same oraz \(\displaystyle{ P(A_n) = \frac{1}{2} \mbox{ dla } n \in \mathbb{N}}\) i wszystko się sypie.
Na pewno?

JK
metamatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 26 lip 2004, o 02:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 6 razy

teoria miary - rodzina zbiorów

Post autor: metamatyk »

Dziękuję Panu za pomoc. Wydaje się w takim razie, że wystarczy wskazać taką rodzinę.
Co myślicie o czymś takim. Biorę zdarzenia niezależne o żądanych własnościach. Wtedy zawsze warunek przekroju będzie spełniony. Pytanie czy to jest takie oczywiste - wziąć przeliczalnie wiele zdarzeń niezależnych o zadanym z góry prawdopodobieństwie.
mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

teoria miary - rodzina zbiorów

Post autor: mostostalek »

Jeśli \(\displaystyle{ \alpha>\frac{1}{2}}\) to nie znajdziesz nawet dwóch a co dopiero przeliczalnie wiele
Ale nigdzie tam nie jest napisane, że ma ich być przeliczalnie wiele -- 20 września 2014, 23:40 --Swoją drogą.. Ciekawi mnie trochę zapis:

"dla każdego podciągu \(\displaystyle{ \{n_k:k\ge 1\}}\)"

To tak jak byśmy dopuszczali podciągi jednowyrazowe a przecież \(\displaystyle{ P(A_{n_{k}})\ge \alpha>0}\) dla każdego k..
Awatar użytkownika
M Ciesielski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2524
Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 302 razy

teoria miary - rodzina zbiorów

Post autor: M Ciesielski »

Jan Kraszewski, okej, nie wiem jak na to spojrzałem - to już chyba nie moja godzina wyedytuję swój poprzedni post.
metamatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 26 lip 2004, o 02:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 6 razy

teoria miary - rodzina zbiorów

Post autor: metamatyk »

mostostalek pisze:Jeśli \(\displaystyle{ \alpha>\frac{1}{2}}\) to nie znajdziesz nawet dwóch a co dopiero przeliczalnie wiele
Ale nie jest powiedziane, że \(\displaystyle{ \alpha>\frac{1}{2}}\)-- 21 września 2014, 17:34 --
mostostalek pisze:Jeśli \(\displaystyle{ \alpha>\frac{1}{2}}\) to nie znajdziesz nawet dwóch a co dopiero przeliczalnie wiele
Znajde nawet dużo więcej niż dwa. Ustalmy \(\displaystyle{ N>1}\) i rozważmy \(\displaystyle{ N}\) prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu \(\displaystyle{ p}\). Wtedy zdarzenia \(\displaystyle{ A_{n},\;1\leq n\leq N}\) polegające na tym, że w \(\displaystyle{ n}\)-tej próbie uzyskamy sukces są niezależne.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34124
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

teoria miary - rodzina zbiorów

Post autor: Jan Kraszewski »

mostostalek pisze:Swoją drogą.. Ciekawi mnie trochę zapis:

"dla każdego podciągu \(\displaystyle{ \{n_k:k\ge 1\}}\)"

To tak jak byśmy dopuszczali podciągi jednowyrazowe a przecież \(\displaystyle{ P(A_{n_{k}})\ge \alpha>0}\) dla każdego k.
Ten zapis nie dopuszcza podciągów jednowyrazowych. To jest inna forma zapisania \(\displaystyle{ \{n_k:k\in\NN_+\}}\). Podobnie nie czepiałbym się nawiasów klamrowych, wydaje się, że autor ma taką konwencję notacyjną.

JK
ODPOWIEDZ