Wartość oczekiwana punktów na okręgu

[pancernik993]

Na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 1}\), umieszczono niezależnie \(\displaystyle{ N}\) punktów zgodnie z rozkładem jednostajnym na okręgu. Niech Z wyznacza liczbę punktów , których odległość od wszystkich pozostałych jest większa od \(\displaystyle{ 1}\). Wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej \(\displaystyle{ Z}\)

[Marcinek665]

Nazwijmy te punkty \(\displaystyle{ X_1, X_2, ... , X_N}\). Określmy zmienne \(\displaystyle{ A_i}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,...,N}\) następująco: jeśli każdy z punktów \(\displaystyle{ X_j}\) dla \(\displaystyle{ j \neq i}\) jest odległy od punktu \(\displaystyle{ X_i}\) o więcej niż \(\displaystyle{ 1}\), to \(\displaystyle{ A_i}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\). W przeciwnym wypadku \(\displaystyle{ A_i = 0}\).

Z tej definicji wynika, że \(\displaystyle{ Z = A_1 + A_2 + ... + A_N}\). Ponadto z liniowości wartości oczekiwanej mamy \(\displaystyle{ \mathbb{E}Z = \mathbb{E}(A_1 + A_2 + ... + A_N) = \mathbb{E}A_1 + \mathbb{E}A_2 + ... + \mathbb{E}A_N}\). Co więcej punkty \(\displaystyle{ X_i}\) są wybierane niezależnie, więc suma tych wartości oczekiwanych jest równa \(\displaystyle{ N \cdot \mathbb{E}A_1}\).

Żeby obliczyć ile wynosi \(\displaystyle{ \mathbb{E}A_1}\) wystarczy ustalić punkt \(\displaystyle{ X_1}\), a następnie wpisać w okrąg sześciokąt wypukły, który ma jeden wierzchołek w punkcie \(\displaystyle{ X_1}\). Widać wówczas łatwo, że łuki okręgu na których mogą lądować wszystkie pozostałe punkty \(\displaystyle{ X_i}\) tak, żeby było dobrze, stanowią \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) długości całego okręgu. Punktów tych jest \(\displaystyle{ N-1}\), zatem \(\displaystyle{ \mathbb{E}A_1 = \left( \frac{2}{3} \right)^{N-1}}\).

Ostatecznie wynik to \(\displaystyle{ N \left( \frac{2}{3} \right)^{N-1}}\).