Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych z wartością oczekiwaną równą jeden i niech \(\displaystyle{ U = 2X + Y , V = X - Y}\) . Obliczyć \(\displaystyle{ P=(U \in (0,6) \wedge V \in (0,6))}\)
Czy jest jakiś prostszy sposób niż korzystanie ze splotu? Nie mam w ogóle pomysłu jak zrobić to zadanie.
-- 10 wrz 2014, o 20:14 --
Czy dobrze myślę, że tak to można zrobić?
Chcę wyznaczyć dystrybuantę \(\displaystyle{ F _{U,V} (u,v)}\) żeby potem skorzystać z niezależności i wyliczyć zadane prawdopodobieństwo.
Wyznaczyłem sobie dystrybuanty \(\displaystyle{ F _{U}(u)=P(2X+Y \le u) oraz F _{V}(v)=P(X-Y \le v)}\) i chciałem wyznaczyć z tego obszar całki podwójnej z gęstości łącznej (X,Y) czyli z \(\displaystyle{ e ^{-x-y}}\) ale nie wiem jak wyliczyć ten obszar, szczególnie że z tego co rozumiem dla X-Y muszą być 2 przypadki, kiedy v jest większe od zera, lub mniejsze.
Rozkład wykładniczy, dwie zmienne
-
metamatyk
- Użytkownik
- Posty: 107
- Rejestracja: 26 lip 2004, o 02:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 6 razy
Rozkład wykładniczy, dwie zmienne
Jest taki sposób.
Najpierw piszesz rozkład łączny \(\displaystyle{ X,Y}\), czyli
\(\displaystyle{ f(x,y)=e^{-(x+y)}1_{x>0}1_{y>0}}\)
Teraz wyrażamy \(\displaystyle{ x,y}\) poprzez \(\displaystyle{ u,v}\)
Czyli
\(\displaystyle{ x=\frac{u+v}{3}\;\;y=\frac{u}{3}-\frac{2}{3}v}\)
Teraz podstawiamy w miejsce \(\displaystyle{ x,y}\) w wyrażeniu na \(\displaystyle{ f(x,y)}\)
\(\displaystyle{ x+y=\frac{2}{3}u-\frac{1}{3}v}\)
Stąd
\(\displaystyle{ f(u,v)=e^{-\frac{2}{3}u+\frac{1}{3}v}1_{\frac{u+v}{3}>0}1_{\frac{u}{3}-\frac{2}{3}v>0}}\)
To jeszcze nie jest gęstość, trzeba to jeszcze unormować dzieląc przez moduł jakobianu tego przekształcenia.
Moduł wyznacznika wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).
Stąd gęstością jest
\(\displaystyle{ f(u,v)=3e^{-\frac{2}{3}u+\frac{1}{3}v}1_{\frac{u+v}{3}>0}1_{\frac{u}{3}-\frac{2}{3}v>0}}\)
\(\displaystyle{ f(u,v)=3e^{-\frac{2}{3}u+\frac{1}{3}v}1_{-u<v}1_{u>2v}}\)
I dalej jest już łatwe
Najpierw piszesz rozkład łączny \(\displaystyle{ X,Y}\), czyli
\(\displaystyle{ f(x,y)=e^{-(x+y)}1_{x>0}1_{y>0}}\)
Teraz wyrażamy \(\displaystyle{ x,y}\) poprzez \(\displaystyle{ u,v}\)
Czyli
\(\displaystyle{ x=\frac{u+v}{3}\;\;y=\frac{u}{3}-\frac{2}{3}v}\)
Teraz podstawiamy w miejsce \(\displaystyle{ x,y}\) w wyrażeniu na \(\displaystyle{ f(x,y)}\)
\(\displaystyle{ x+y=\frac{2}{3}u-\frac{1}{3}v}\)
Stąd
\(\displaystyle{ f(u,v)=e^{-\frac{2}{3}u+\frac{1}{3}v}1_{\frac{u+v}{3}>0}1_{\frac{u}{3}-\frac{2}{3}v>0}}\)
To jeszcze nie jest gęstość, trzeba to jeszcze unormować dzieląc przez moduł jakobianu tego przekształcenia.
Moduł wyznacznika wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).
Stąd gęstością jest
\(\displaystyle{ f(u,v)=3e^{-\frac{2}{3}u+\frac{1}{3}v}1_{\frac{u+v}{3}>0}1_{\frac{u}{3}-\frac{2}{3}v>0}}\)
\(\displaystyle{ f(u,v)=3e^{-\frac{2}{3}u+\frac{1}{3}v}1_{-u<v}1_{u>2v}}\)
I dalej jest już łatwe