Zbieznosc wg prawdopodobienstwa

[kapitak]

Witam. Czy dany ciag zmiennych losowych jest zbiezny wg prawdopodobienstwa do 0?
\(\displaystyle{ P( X_{n} = 0 ) = 1- \frac{1}{ n^{2} } , P( X_{n} = -n^{3} ) = P( X_{n} = n^{3} ) = \frac{1}{2 n^{2} }}\)

Wartosc oczekiwana to 0, a wariancja to \(\displaystyle{ n^{4}}\), wiec. Czy na tej podstawie moge stwierdzic ze ciag nie jest zbiezny?

[fon_nojman]

Ten ciąg jest zbieżny wg p-stwa. Jak napiszesz warunek zbieżności wg p-stwa do \(\displaystyle{ 0}\) dla tego ciągu to będzie widać dlaczego jest zbieżny.

[kapitak]

Wciaz nie wiem jak to pokazac

[fon_nojman]

Ten ciąg jest zbieżny wg p-stwa. Jak napiszesz warunek zbieżności wg p-stwa do \(\displaystyle{ 0}\) dla tego ciągu to będzie widać dlaczego jest zbieżny.

A jak wygląda ten warunek?

[kapitak]

Dla kazdego epsilona

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to inf } P( |X_{n} - X| > epsilon ) = 0}\)

[fon_nojman]

Ok, w naszym przypadku \(\displaystyle{ X=0}\) i lepsza będzie wersja z jedynką po prawej stronie równości.

PS: Poćwicz Latex.

[kapitak]

Z jaka jedynka?

[fon_nojman]

Równoważnie:
Dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}P(|X_n|<\varepsilon)=1.}\)

[kapitak]

Nigdy jeszcze nie wykazywalem zbieznosci zmiennej losowej z definicji niebardzo wiem jak to ruszyc

[fon_nojman]

Można oszacować wyrażenie \(\displaystyle{ P(|X_n|<\varepsilon),}\) z góry oczywiście przez jeden a z dołu przez coś dążącego do jedynki.

[kapitak]

Cos z wariancja lub wartoscia oczekiwana?

[fon_nojman]

Nie, prościej. Chodzi o taką inkluzję
\(\displaystyle{ (|X_n|=\ldots) \subset (|X_n|<\varepsilon),}\)
co można wpisać zamiast kropek?

[Mathix]

Hej, chciałem odkopać, żeby ktoś pomógł dokończyć to zadanie. Spotkałem się z podobnym i nie jestem pewien jak je rozwiązywać.

Mam tak jak w powyższym rozumowaniu;
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}P(|X_n|<\varepsilon)=1}\)

No i ja bym rozumiał to teraz tak( bo te trzy podciągi \(\displaystyle{ X_n}\) są rozłączne):
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}P(|X_n|<\varepsilon, X_n = 0) + P(|X_n| < \varepsilon, X_n = n^3) + P(|X_n| < \varepsilon, X_n = -n^3)=1}\)

Widać, że pierwszy składnik sumy jest równy 1, ale jak teraz wykazać, że te pozostałe są 0? Tak?:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}P(|X_n|<\varepsilon, X_n = n^3) = \lim_{n\to \infty}P(|n^3|<\varepsilon) =
\lim_{n\to \infty}P(1<\frac{\varepsilon}{n^3})}\)

I to jest dla każdego epsilona, więc skoro epsilon jest pewną stałą to to co stoi po prawej strony nierówności zbiega do 0, więc będziemy mieli:
\(\displaystyle{ \bigwedge_{\varepsilon > 0} \lim_{n\to \infty}P(1<\frac{\varepsilon}{n^3}) = P(1<0) = 0}\)

Analogicznie ten ostatni człon.
To jest poprawne rozwiązanie?-- 10 sty 2019, o 19:52 --Hej, chciałem odkopać, żeby ktoś pomógł dokończyć to zadanie. Spotkałem się z podobnym i nie jestem pewien jak je rozwiązywać.

Mam tak jak w powyższym rozumowaniu;
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}P(|X_n|<\varepsilon)=1}\)

No i ja bym rozumiał to teraz tak( bo te trzy podciągi \(\displaystyle{ X_n}\) są rozłączne):
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}P(|X_n|<\varepsilon, X_n = 0) + P(|X_n| < \varepsilon, X_n = n^3) + P(|X_n| < \varepsilon, X_n = -n^3)=1}\)

Widać, że pierwszy składnik sumy jest równy 1, ale jak teraz wykazać, że te pozostałe są 0? Tak?:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}P(|X_n|<\varepsilon, X_n = n^3) = \lim_{n\to \infty}P(|n^3|<\varepsilon) =
\lim_{n\to \infty}P(1<\frac{\varepsilon}{n^3})}\)

I to jest dla każdego epsilona, więc skoro epsilon jest pewną stałą to to co stoi po prawej strony nierówności zbiega do 0, więc będziemy mieli:
\(\displaystyle{ \bigwedge_{\varepsilon > 0} \lim_{n\to \infty}P(1<\frac{\varepsilon}{n^3}) = P(1<0) = 0}\)

Analogicznie ten ostatni człon.
To jest poprawne rozwiązanie?