Węzły i kanały

[lolyt_xd]

Hej. Umiałby ktoś rozwiązać to zadanie? Albo napisać jakiś sposób na nie?

Węzły A i B są połączone siecią kanałów jak na rysunku. Prawdopodobieństwo poprawnej pracy kanału w czasie t godzin jest dla wszystkich kanałów jednakowe i wynosi p. Zakładając, że kanały pracują niezależnie od siebie, obliczyć prawdopodobieństwo, że możliwa będzie komunikacja pomiędzy węzłami A i B w czasie t.

[Powermac5500]

Podobnie do tego jak liczy się oporność zastępczą układu oporników.

[kerajs]

Podzielę sieć na trzy moduły połączone szeregowo.
Moduł 1 zawiera k1, moduł 2 : k2 , k3, k4, k5; a trzeci dwa pozostałe kanały.
Aby była komunikacja między A i B (zdarzenie Q) to każdy z modułów musi być drożny.
stąd
\(\displaystyle{ P(Q)=P(M1) \cdot P(M2) \cdot P(M3)}\)
Trzeba policzyć prawdopodobieństwo drożności każdego z modułów:
\(\displaystyle{ P(M1)=p}\)
Modułu 3 jest drożny gdy choć jeden z dwóch kanałów jest drożny
\(\displaystyle{ P(M3)=p+p-pp=2p-p^2}\) (k6 czynny lub k7 czynny - nadmiarowo liczona w obu wczesniejszych sytuacjach drożność obydwu kanałów)
Moduł M2
Rozbiję go na kanał górny (zawiera k2) i dolny (trzy pozostałe)
Prawdopodobieństwo drożności kanału dolnego (nazwę je q) wynosi
\(\displaystyle{ q=p \cdot (2p-p^2)}\)
\(\displaystyle{ P(M2)=p+q-pq=p+(2p^2-p^3)-p(2p^2-p^3)=p+2p^2-3P^3+p^4}\)
Wstawiając prawdopodobieństawa drożności każdego z modułów do pierwszego wzoru masz
\(\displaystyle{ P(Q)=p \cdot (p+2p^2-3P^3+p^4) \cdot (2p-p^2)}\)

[lolyt_xd]

a nie tak?



\(\displaystyle{ P(A)=p}\) (bo jest tu jeden kanał którego prawd. działania wynosi p.

\(\displaystyle{ P(B)=P(B|B_1)\cdot P(B_1)+P(B|B_2)\cdot P(B_2)}\)
\(\displaystyle{ P(B_2)=p\cdot (0,5\cdot p+0,5\cdot p )=p^2}\) - tu też z prawdopodobieństwa całkowitego (wyrażenie w nawiasie) uwzględniono przejście przez kanał K4 i K5.


\(\displaystyle{ P(B)=0,5\cdot p+0,5\cdot p^2=0,5p(p+1)}\)

\(\displaystyle{ P(C )=P(C|C_1)\cdot P(C_1)+P(C|C_2)\cdot P(C_2)=0,5\cdot p+0,5\cdot p=p}\)

Szukane prawdopodobieństwa przejścia przez sieć kanałów.
\(\displaystyle{ P(K)=P(A)P(B)P(C )=0,5p^3(p+1)}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ P(C )=P(C|C_1)\cdot P(C_1)+P(C|C_2)\cdot P(C_2)=0,5\cdot p+0,5\cdot p=p}\)

Opisz słownie co oznacz powyższy wzór i skad masz wartość 0,5

[lolyt_xd]

Taką podpowiedź dostałem na innym forum. Nie wiem, czy mogę tu podać linka. Wszystko co napisali mi tam, wrzuciłem tu. Dlatego pytam, czy może być takie rozwiązanie, czy jednak jest z nim coś nie tak.

Dzięki wielkie, że odpisałeś! -- 9 wrz 2014, o 18:32 --Tu chyba chodziło o to, że np. w tym module są dwa kanały i dlatego na jeden jest pół i na drugi pół. Sam nie wiem już.

[kerajs]

Zauważ że informacja (lub prąd) nie wybiera drogi którą chce dotrzeć z A do B. Próbuje ,,przejść' każdą z możliwych. Dlatego pomysł z 0,5 jest błędny.

Na innym forum (lub to może Twój pomysł) podobnie jak ja podzielono drogę przejścia na trzy fragmenty. Ja nazwałem je modułami 1,2,3 ; a Ty ,,fragmentami' A,B,C
Skupię sie na odcinku C. Informacja przez niego przepłynie jeśli choć jeden z kanałów k6, k7 będzie drożny. Ponieważ nie podoba Ci się poprzednie wyliczenie proponuję inne:
Informacja nie przejdzie przez C jeśli oba kanały będą zatkane (nie pracują poprawnie jak jest w treści zadania) prawdopodobieństwo takiego zdarzenia to \(\displaystyle{ (1-p)(1-p)}\). Zgodnie ze wzorem na pr. przeciwne mam
\(\displaystyle{ P(sektor..C..przepuszcza.. informacje)=1-P(sektor.. C..nie.. przepuszcza.. informacji)=\\=1-(1-p)(1-p)=2p-p^2}\)
czyli dokładnie to co ja wyliczyłem trochę innaczej z :
\(\displaystyle{ P(k6 \cup k7)=P(k6 )+P(k7)-P(k6 \cap k7)}\)

Teraz Tobie pozostaje rozstrzygnąć które rozwiazaine jest poprawne.

Ps. Jaśli to moje uznasz za poprawne to zastanów sie nad poprawnością obliczeń dla sektora B

[lolyt_xd]

Hej. To serio nie mój pomysł na to rozwiązanie, ponieważ sam nie wiedziałem jak się do tego zabrać. Tu mi podsunięto ten pomysł.

Kod: Zaznacz cały

http://matma4u.pl/topic/44308-w%C4%99z%C5%82y-i-kana%C5%82y/

Ok dzięki wielkie za pomoc z tym zadaniem!

-- 9 wrz 2014, o 22:49 --

Dla tego przykładu:

będzie tak?
A to będzie całość, A1 i A2 (k1 i k2)
\(\displaystyle{ P(A)=p+p-pp=2p-p^2}\)
\(\displaystyle{ P(B1)=p*p=p^2}\)
\(\displaystyle{ P(B2)=p*(2p-p^2)=2p^2-p^3}\)
\(\displaystyle{ P(B)=B1+B2-B1\cdot B2=p^2+2p^2-p^3-p^2\cdot (2p^2-p^3)=3p^2-p^3-2p^4+p^5}\)

Q to całość
\(\displaystyle{ P(Q)=P(A)\cdot P(B)}\)
\(\displaystyle{ P(Q)=(2p-p^2)(3p^2-p^3-2p^4+p^5)=6p^3-5 p^4-3 p^5+4 p^6-p^7}\)

Dobrze to rozwiązałem?




Inne podobne:

Połączenie binarne jest realizowane za pomocą dwóch kanałów połączonych szeregowo, co można opisać grafem pokazanym na rysunku. Symbol 1 jest nadawany dwa razy częściej od symbolu 0. Na wyjściu kanału 2 zaobserwowano sygnał 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wyjściu kanału 1 również zaobserwowano 1. Czy zdarzenia „na wyjściu kanału 1 zaobserwowano 1” oraz „nadano 1” są niezależne lub rozłączne?

[url=http://naforum.zapodaj.net/3ffda8db2128.jpg.html][/url]

[kerajs]

Widzę żę zaufałeś rozwiazaniu z tego forum bo zadanie z sieci jest zrobione przawidłowo (przynajmniej wg standardu który zasugerowałem)

A- nadano 1
B - odebrano 1
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(B)= \frac{1}{3} \cdot 0,8 \cdot 0,1+\frac{1}{3} \cdot 0,2 \cdot 0,8+\frac{2}{3} \cdot 0,1 \cdot 0,1+\frac{2}{3} \cdot 0,9 \cdot 0,8}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B)=\frac{2}{3} \cdot 0,1 \cdot 0,1+\frac{2}{3} \cdot 0,9 \cdot 0,8}\)

Przed wejściem do kanału 1 dopisz prawdopodobieństwo pojawienia sie 0 i 1.
Dalej umiesz sam. Zastanów sie dlaczego takie składniki wystepują w prawdopodobieństwach. Pisz w razie problemów.

[lolyt_xd]

Składniki to są prawdopodobieństwa wszystkich dojść do jedynki na wyjściu kanału 2?
Czyli
po lewej wejście na kanał 1, po środku wyjście kanału 1 i wejście kanału 2, po prawej wyjście kanału 2.
1 -> 1 -> 1
1 -> 0 -> 1
0 -> 0 -> 1
0 -> 1 -> 1-- 9 wrz 2014, o 23:32 --Czyli co będzie odpowiedzią na pytanie:
Na wyjściu kanału 2 zaobserwowano sygnał 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wyjściu kanału 1 również zaobserwowano 1.