Prawdopodobienstwo miedzy zmiennymi losowymi

[kapitak]

Witam, troche grzebalem po forum lecz nie znalazlem odpowiedzi na moje pytanie, czy istnieje uniwersalny sposob obliczania \(\displaystyle{ P(X<Y)}\) gdzie \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) maja zadany rozklad? A co w przypadku \(\displaystyle{ P(X< f(Y))}\)?

[mm34639]

Hmm
"uczona" odpowiedź jest taka, że jeśli założymy, że zmienne są "jednowymiarowe" o wartościach w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), i znamy ich rozkład łączny \(\displaystyle{ \mu}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\), to \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X<f(Y))=\int_{\mathbf{1}_{(x<f(y))}} \textrm{d}\mu(x,y)}\)

W praktyce, jeśli np. obie zmienne mają znane gęstości (powiedzmy \(\displaystyle{ f_X}\) i \(\displaystyle{ f_Y}\)) i są niezależne,
albo jeśli niekoniecznie są niezależne ale znamy gęstość łączną \(\displaystyle{ f_{X,Y}}\),
to powyższy zapis oznacza
\(\displaystyle{ \int\int_{\mathbf{1}_{(x<f(y))}} f_{X,Y}(x,y) \ \textrm{d}x\textrm{d}y}\)
- czyli, mówiąc po ludzku - całka po obszarze w którym \(\displaystyle{ x<f(y)}\) z gęstości łącznej.

Jeśli np. chcemy \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X<Y)}\), to będzie to wyglądać
\(\displaystyle{ \int\int_{\mathbf{1}_{(x<y)}} f_{X,Y}(x,y) \ \textrm{d}x\textrm{d}y=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{x} f_{X,Y}(x,y) \ \textrm{d}y\textrm{d}x}\).

Jeśli zmienne mają rozkłady skokowe, to w naturalny sposób całki zamieniają nam się w sumy, itd itp.

Inna sprawa, czy całkę/sumę da się obliczyć.

To w sumie w miarę intuicyjne. Najlepiej pokazać na przykładzie.

[kapitak]

Dzieki, czy moglbys policzyc dla przykladu \(\displaystyle{ P( X^{2} < Y )}\) gdzie X i Y sa niezalezne o rozkladzie jednostajnym na [-1;1] ?

[mm34639]

Mógłbym

Przyda się rysunek



Na niebiesko jest obszar gdzie \(\displaystyle{ X^2<Y}\). Gęstość łączna naszego rozkładu jest stała, równa \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) na kwadracie \(\displaystyle{ [-1,1] \times [-1,1]}\), a \(\displaystyle{ 0}\) gdzie indziej.

Zgodnie z tym co napisałem, by obliczyć prawdopodobieństwo całkujemy gęstość łączną po niebieskim obszarze (tzn po niebieskim oczywiście tylko wewnątrz kwadratu)

Zatem \(\displaystyle{ P(X^2<Y)=\int_{-1}^{1} \int_{x^2}^{1} \frac{1}{4} \ \textrm{d}y \, \textrm{d}x=\frac{1}{4}\int_{-1}^{1} (1-x^2) \ \textrm{d}x=\frac{1}{3}}\)

W tym wyjątkowym przypadku możemy zauważyć, że prawdopodobieństwo to jest pole niebieskiego podzielić przez pole kwadratu, ale tak jest TYLKO wtedy, gdy rozkład jest jednostajny na całym kwadracie, co niestety często się nie będzie zdarzać.

[kapitak]

A w jaki sposob znalezc rozklad laczny gdy mam podane rozkaldy X i Y ?

[rafalpw]

Jeżeli zna się jedynie rozkłady brzegowe (a zmienne nie są niezależne) to nic nie można powiedzieć o rozkładzie łącznym. Jeśli są niezależne to gęstość łączna to po prostu iloczyn gęstości brzegowych.

[kapitak]

A co w przypadku np rozkladow wykladniczych?

[mm34639]

Jeśli mamy dwie zmienne o rozkładzie wykładniczym \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), to jeśli są niezależne, to gęstość łączna to iloczyn gęstości. Jeśli mamy gęstości \(\displaystyle{ f_X(x)=\alpha \textrm{e}^{-\alpha x} \mathbf{1}_{[0,\infty]}}\) a \(\displaystyle{ f_Y (x)=\beta \textrm{e}^{-\beta x}\mathbf{1}_{[0,\infty]}}\) to gęstość łączna
\(\displaystyle{ f_{X,Y}(x,y)=\alpha \beta \textrm{e}^{-\alpha x-\beta y}\mathbf{1}_{[0,\infty] \times [0,\infty]}}\) - wykładnicze mają gęstość niezerową na dodatniej półosi, więc rozkład łączny jest niezerowy w "pierwszej ćwiartce". Jeśli nie wiemy czy są niezależne to z góry nie można powiedzieć nic o łącznym rozkładzie, bo nie wiemy w jaki sposób jedna zależy od drugiej.

Czasem można temu zaradzić - np. potrafimy podać rozkład łączny dwóch zmiennych o rozkładzie normalnym zależnych, jeśli dana jest macierz kowarancji.